Lineární rovnice a jejich soustavy
| Autor: Tereza | Škola: - |
| Strany: 7 A4 | Obrázky: ano |
| Dokument stažen: 4580x | Náhled zobrazen: 9772x |
| Stáhnout zazipovaný dokument » | Zpět na seznam » |
| Textový náhled: Lineární rovnice a jejich soustavy Rovnice ax + b = 0, kde a, b náleží oboru reálných čísel, se nazývá lineární rovnice (s neznámou x). Lineární se často nazývají i mnohé další rovnice, které lze snadno na rovnici ve tvaru ax + b = 0 převést. Není důležité přesné popsat, které rovnice ještě lineární jsou a které už ne. Pro konkrétní rovnici je podstatné, zda ji umíme vyřešit- třeba převedením na rovnici tvaru ax + b = 0, a ne to, jak se tato rovnice jmenuje. Příklad: rovnice s neznámou x 3(2x + 5) + 15 = 96 6x + 15 + 15= 96 6x + 30 = 96 6x = 96 - 30 6x = 66 x = 66/6 x = 11 Tato rovnice je lineární. Řešili jsme ji ekvivalentními úpravami. Ekvivalentní úpravy jsou takové, které převádějí každou rovnici na rovnici s ní ekvivalentní, tj. zachovávají množiny všech řešení. Mezi ekvivalentní úpravy patří: * Přičtení stejného čísla k oběma stranám rovnice * Přičtení stejného násobku neznámé k oběma stranám rovnice * Vynásobením obou stran rovnice stejným nenulovým číslem (tj. vynásobení rovnice nenulovým číslem) * "Ekvivalentní" úpravy výrazů na jednotlivých stranách rovnice V následující úloze budeme řešit pomocí uvedených čtyř druhů ekvivalentních úprav. 2x(3 - 7 = 0 2x(3 = 7 x = 7/ 2(3 = 7/ 2(3 . (3 / (3 = 7(3/ 6 Daná rovnice má jediné řešení x = 7/6 . (3 V obou dosud uvedených příkladech bylo řešením lineární rovnice s jednou neznámou právě jedno číslo. Nemusí tomu tak být vždy. Mohou nastat ještě dva případy: Lineární rovnice nemusí mít žádné řešení nebo jejím řešením může být každé reálné číslo. Rovnice nemá žádné řešení Pokud rovnici nevyhovuje žádné číslo x, nemá daná rovnice žádné řešení. Jinak řečeno, množina všech řešení dané rovnice je prázdná. Příklad: Řešte rovnici 5(2 - x) = -5x-7 5(2 - x) = -5x-7 10 - 5x = -5x - 7 10 - 5x + 5x + 7 = 0 0 . x + 17 = 0 Poznámka: V rovnici s neznámou x se neznámá nemusí vůbec vyskytovat. Rovnice s neznámou x nemá žádné řešení, neboť pro žádné reálné číslo x neplatí 17 = 0. Rovnice má nekonečně mnoho řešení Rovnice může být také splněna pro každé reálné číslo x. Množina všech jejích řešení je množina reálných čísel. Příklad: Řešte rovnici x(2 - (3 = - ( (3 - x(2) x(2 - (3 = - ( (3 - x(2) x(2 - (3 = - (3 + x(2 0 . x + 0 = 0 Poznámka: Rovnici 0 . x + 0 = 0 můžeme zapsat ve tvaru 0 = 0. Shrnutí Přehledné shrnutí poznatků o řešení lineární rovnice ax + b = 0, kde a, b náleží množině reálných čísel. ax + b = 0 1. a ( 0, pak je jediným řešením x = -b/a 2. a = 0 * b = 0, pak každé číslo x náleží množině reálných čísel je řešením * b ( 0, pak rovnice nemá řešení To ovšem platí pouze v případě, že rovnici řešíme v oboru reálných čísel. Řešíme- li rovnici ax + b = 0 (a ( 0) např. pouze v oboru přirozených čísel a není- li číslo -b/a přirozené, nemá rovnice ax + b v tomto oboru řešení. Dojdeme, že výraz ax + b, kde a, b náleží obru reálných čísel, a ( 0, se nazývá lineární dvojčlen. Existují i rovnice, při jejichž převádění na rovnice lineární bude nutné použít "zobecnění" prvních dvou výše zmíněných ekvivalentních úprav. * Přičtení stejného výrazu obsahujícího neznámou ( definovaného pro všechny hodnoty neznámé z množiny čísel, v níž rovnici řešíme) k oběma stranám rovnice Rovnice s absolutními hodnotami Absolutní hodnota čísla a, jenž náleží množině reálných čísel je definována takto: (a( = a pro a ? 0 (a( = - a pro a ( 0 Pro libovolná čísla a, b, která náleží množině reálných čísel, platí: 1. (a( ? 0 2. (a( = ( -a( 3. (a . b( = (a( . (b( 4. (a/ b( = (a(/ (b( , pokud b ? 0 Geometrický význam absolutní hodnoty (viz obrázek): * číslo ?a? se pro libovolné a náležící do množiny reálných čísel rovná vzdálenosti obrazu čísla a na číselné ose od počátku (tj. od obrazu čísla 0) * číslo ?a - b? = ?b - a? se pro libovolná a, b náležící do množiny reálných čísel rovná vzdálenosti obrazů čísel a, b na číselné ose Rovnice v součinovém tvaru Rovnice v součinovém tvaru jsou rovnice, jenž mají tvar "součin dvou nebo více lineárních dvojčlenů rovná se nule". Existují i rovnice, které lze ekvivalentními úpravami na tento uvedený tvar rovnice převést. Při hledání kořenů budeme řešit lineární rovnice. "Klíčem" k řešení bude skutečnost: * součin několika čísel se rovná nule právě tehdy, když alespoň jeden z činitelů se rovná nule Rovnice v podílovém tvaru Rovnice v podílovém tvaru jsou rovnice, které mají tvar "zlomek, v jehož čitateli i jmenovateli je lineární dvojčlen nebo součin několika lineárních dvojčlenů, rovná se nule". Jedná se také o rovnice, které lze na takové rovnice ekvivalentními úpravami převést. Je zde nutno použít novou ekvivalentní úpravu: * vynásobení obou stran rovnice (stručně řečeno "vynásobení rovnice") stejným výrazem obsahujícím neznámou, který je definován a různý od nuly pro všechny hodnoty neznámé z množiny čísel, v níž rovnici řešíme Grafické řešení lineární rovnice Grafem funkce x› ax + b je přímka. Jinak řečeni, probíhá- li x množinu všech reálných čísel, potom body [x, ax + b] vytvoří přímku. Například grafem funkce f: y = 2x + 1 je přímka. Tato přímka prochází bodem [0,1], protože hodnota funkce f v bodě x = 0 je y = 1; dále tato přímka prochází např. body [1,3], [-1,-1], [2,5], [3/2, 4] (viz obrázek). K určení grafu funkce f: y = 2x + 1 nám ovšem stačí dva body. Lineární rovnice se dvěma neznámými Rovnice ax + by = c, kde a, b, c náleží množině reálných čísel se nazývá lineární rovnice se dvěma neznámými x, y. Lineární rovnice se dvěma neznámými x, y jsou i mnohé další rovnice, které lze na rovnici tvaru ax + by = c převést ekvivalentními úpravami. Přitom ekvivalentní úpravy pro rovnice se dvěma neznámými jsou prakticky stejné jako ekvivalentní úpravy pro rovnice s jednou neznámou; pouze v úpravách, v nichž byla řeč o neznámé, tentokrát figurují dvě neznámé. Obecně platí: * V případě, kdy alespoň jeden z koeficientů a, b v rovnici je nenulový, je obrazem množiny všech jejích řešení přímka. Je- li a = 0, je tato přímka rovnoběžná s osou x, je- li b = 0, je rovnoběžná s osou y. Pokud c = 0, prochází tato přímka počátkem soustavy souřadnic. * Jestliže a = b = 0, potom záleží na číslu c. Je- li i c = 0, je řešením rovnice každá uspořádaná dvojice reálných čísel (x, y). Je- li a = b = 0 a c ? 0, nemá rovnice žádné řešení. Soustavy dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými Soustava rovnic a1x + b1 y = c1, a 2x + b2y = c2, kde a1, b1, c1, a2, b2, c2, náleží množině reálných čísel, se nazývá soustava dvou lineárních rovnice se dvěma neznámými x, y. Řešením této soustavy nazýváme každou uspořádanou dvojici (x0, y0 ), která je řešením obou jejích rovnic. Dosazovací metoda spočívá v tom, že z některé z obou rovnic vyjádříme tu neznámou, u níž je nenulový koeficient, pomocí druhé neznámé a příslušný výraz za ni dosadíme do zbývající rovnice. Získáme tak lineární rovnici s jednou neznámou. Zdůrazněme, že při použití dosazovací metody řešíme danou soustavu rovnic pomocí ekvivalentních úprav. Připomeňme, že ekvivalentní úpravou soustavy lineárních rovnic nazýváme úpravu, která tuto soustavu převádí na novou soustavu se stejnou množinou všech řešení. Při dosazovací metodě používáme tyto ekvivalentní úpravy: * Ekvivalentní úpravy jednotlivých rovnic soustavy * Dosazení výrazu, kterým z jedné rovnice vyjádříme některou neznámou pomocí druhé neznámé, za příslušnou neznámou do zbývající rovnice Sčítací metoda se někdy používá při řešení soustavy, jestliže všechny čtyři koeficienty a1, b1, a2, b2, jsou nenulové. Příslušná soustava se převede na takovou ekvivalentní soustavu, že v jedné rovnici "chybí" (alespoň) jedna neznámá. Používá se při tom ekvivalentní úprava: * Přičtení některé rovnice soustavy k zbývající rovnici této soustavy (přesněji: přičtení levé strany k levé straně a pravé strany k pravé straně) Sčítací metoda pro řešení dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými x, y spočívá v tom, že některou rovnici vynásobíme vhodným nenulovým číslem a přičteme k ní vhodný násobek zbývající rovnice tak, aby jedna neznámá "zmizela". Může se ovšem stát, že přitom "zmizí" i druhá neznámá. Příslušná soustava je v takovém případě ekvivalentní se soustavou dvou lineárních rovnic, z nichž jedna má tvar 0 . x + 0 . y = d, kde d náleží množině reálných čísel. Dodejme, že přechod od soustavy k soustavě můžeme udělat přímo, bez mezivýsledku, jestliže příslušné ekvivalentní úpravy provedeme najednou, tj. jestliže druhou rovnici soustavy upravíme tak, že rovnou k jejímu dvojnásobku přičteme trojnásobek první rovnice; první rovnici přitom můžeme ponechat v původním tvaru. V takovém případě používáme vlastně ekvivalentní úpravu: * Vynásobení některé rovnice soustavy nenulovým číslem a současné přičtení násobku zbývající rovnice soustavy k této (vynásobené) rovnici Soustava dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými může mít buď jedno řešení, nebo nekonečně mnoho řešení, nebo nemusí mít žádné řešení. Soustavy lineárních rovnic s více neznámými Pří řešení soustav lineárních s více neznámými se používají stejné ekvivalentní úpravy jako pro soustavy se dvěma neznámými , a navíc i některé další. Jsou to tyto úpravy: * Ekvivalentní úpravy jednotlivých rovnic soustavy (zejména jejich násobení nenulovými čísly) * Dosazení výrazu, kterým z jedné rovnice vyjádříme některou neznámou pomocí ostatních neznámých, za příslušnou neznámou do jiné rovnice * Přičtením násobku některé rovnice soustavy k jiné rovnici této soustavy (popř. k jejímu nenulovému násobku) * Záměna pořadí rovnic * Vynechání rovnice, která je násobkem jiné rovnice soustavy (zvláštním případem je vynechání rovnice, která je nulovým násobkem jiné rovnice soustavy, tj. vynechání rovnice typu 0x +0y + 0y = 0) Obecný popis algoritmu (tj. postupu) při převádění soustavy tří lineárních rovnic se třemi neznámými: 1. Soustavu upravíme tak, aby v první rovnici vyl u neznámé, kterou zapisujeme jako první, nenulový koeficient. Pokud tomu tak není přímo v dané soustavě, změníme pořadí rovnic, popř. změníme pořadí, v němž v rovnicích zapisujeme neznámé. 2. První rovnici opíšeme, ke druhé a třetí rovnici (popř. k jejich nenulovým násobkům) přičteme takové násobky první rovnice, aby v obou těchto rovnicích neznámá zapisovaná jako první "zmizela" 3. Soustavu upravíme tak, aby v druhé rovnici byl u neznámé, kterou zapisujeme jako druhou, nenulový koeficient. Pokud to je potřebné, můžeme navzájem vyměnit druhou a třetí rovnici nebo změnit pořadí zápisu druhé a třetí neznámé. 4. První a druhou rovnici opíšeme, k třetí rovnici (popř. jejímu nenulovému násobku) přičteme takový násobek druhé rovnice, aby v ní neznámá zapisovaná jako druhá "zmizela" Může se stát, že při popisovaných výpočtech dostaneme rovnici tvaru 0 . x + 0. y + 0 . z = d. Jestliže bude d ? 0, bude to znamenat, že daná soustava nemá žádné řešení. Jestliže bude d = 0, potom tuto rovnici vynecháme. Popisovaný algoritmus může skončit dříve. Z předcházejících úvah vyplývá, že soustava tří lineárních rovnic se třemi neznámými má buď právě jedno řešení, nebo má nekonečně mnoho řešení (přitom některé neznámé lze volit libovolně a zbývající neznámé pomocí nich jednoznačně vyjádřit), nebo nemá žádné řešení. Algoritmus pro jiný počet rovnic, popř. pro větši počet neznámých , je podobný. Podobné jsou rovněž možnosti počtu řešení. Uvedený způsob řešení soustav lineárních rovnic se nazývá Gaussova eliminační (tj. vylučovací) metoda, podle významného německého matematika Karla Friedricha Gausse (1777- 1855). | |