Středoškolská matematika
| Autor: Martin Matějka | Škola: SSOŠ Kunovice |
| Strany: 64 A4 | Obrázky: ne |
| Dokument stažen: 7934x | Náhled zobrazen: 59463x |
| Stáhnout zazipovaný dokument » | Zpět na seznam » |
| Textový náhled: 1 . F U N K C E Definice : Množina M je podmnožinou množiny R. Funkce f je množina uspořádaných dvojic [x;y], pro které platí : každému x ? M je přiřazeno právě jedno y ? R (ne více !). Proměnná x se nazývá nezávisle proměnná [argument] a proměnná y se na- zývá závisle proměnná. Číslo y ? R se pro určité x ? R (pro něž platí [x;y] ? f) nazývá funkční hodnota funkce f a označuje se f(x). Jinak : Funkce je každé zobrazení v množině R. Graf funkce y = f(x) je množina všech bodů o souřadnicích [x;f(x)], kde x ? D(f). Definiční obor funkce f je množina D, která má tu vlastnost, že ke kaž- dému číslu x ? D je přiřazeno právě jedno takové číslo y, aby platilo [x;y] ? f. Definiční obor funkce značíme D(f). Obor hodnot funkce f je množina H, která má tu vlastnost, že ke každému číslu y ? H existuje takové číslo x ? D, aby platilo [x;y] ? f. Obor hodnot funkce značíme H(f). Funkce rostoucí Funkce f(x) je rostoucí v intervalu x1 < x2 z intervalu y| | . | . | | | f(x) . | | | . | | | . | f(x2)| | | | | | | . |f(x1) | | | | | | | | | | | | | -------+--------+-----------+-----+------------+------- a x1 x2 0| b x Funkce klesající Funkce f(x) je klesající v intervalu x1 < x2 z intervalu . y| | . | | | . | | | | | | | | . | | | | . | | f(x2)| | . | | | | | |f(x1) | | | . | | | | | | | | | | -------+--------+-----------+-----+------------+------- a x1 x2 0| b x Sudá funkce Funkce y = f(x) se nazývá sudá, právě když definiční obor D funkce f je souměrný podle počátku souřadného systému (tj. s každým bodem x ? D patří do oboru D také bod -x), a pro každé x ? D platí f(-x) = f(x). Graf sudé funkce je souměrný podle osy y. Lichá funkce Funkce y = f(x) se nazývá lichá, právě když definiční obor D funkce f je souměrný podle počátku souřadného systému (tj. s každým bodem x ? D patří do oboru D také bod -x), a pro každé x ? D platí f(-x) = -f(x). Graf liché funkce je souměrný podle počátku souřadného systému. 3 . E X P O N E N C I Á L N Í F U N K C E Exponenciální rovnicí nazýváme takovou rovnici, kde se proměnná x vys- kytuje v exponentu. Obecně lze exponenciální rovnice řešit jen graficky nebo přibližnými numerickými metodami. Jen v některých jednoduchých zvláštních případech lze tyto rovnice převést na algebraické rovnice. Exponenciální funkce Obecný tvar funkce : y = ax (a > 0) Graf exponenciální funkce : (vždy prochází bodem [0;1], protože a0 = 1) y | 9• | 8• | 7• | 6• | 5• | 4• | 3• | 2• | y=1x --------------------+------------------------ 1| --•---•---•---•---•---+---•---•---•---•---•---•--- -5 -4 -3 -2 -1 0| 1 2 3 4 5 6 x Definiční obor : D(f) = R Obor hodnot : H(f) = R+{0} (všechna kladná reálná čísla) Řešení exponenciální rovnice ax = b (a>0 , a<>1 , b>0) lze řešit : a) bez logaritmování, jestliže lze členy rovnice vyjádřit jako mocniny téhož základu : b cax = cb -" x = - a b) logaritmováním : lg b x = logab, popř. x lg a = lg b -" x = ---- lg a Příklad 1 : Příklad 2 : 3?ax+2 = ?ax-5 2x = 7 a(x+2)/3 = a(x-5)/2 x log 2 = log 7 x + 2 x - 5 log 7 ----- = ----- x = ----- 3 2 log 2 2x + 4 = 3x - 15 x = 19 3 . G o n i o m e t r i c k é f u n k c e Goniometrické funkce je společenský název pro funkce sinus (symbol sin), kosinus (symbol cos), tangens (symbol tg) a kotangens (symbol cotg). Jednotková kružnice y ?/2 II. 1 | I. | 0 < ? < ?/2 | | ?/2 < ? < ? M | N | | | |yM |? ? |yM ? | | | ------•--------------+--------------•--------- -1 xM 0| xN 1 x | | | | | | III. -1 | IV. 3?/2 M [xM,yM] •--------------------------------• •-------•-------•-------•-------•-------• | sin ? = yM | | | I. | II. | III .| IV. | | cos ? = xM | •-------+-------+-------+-------+-------• | | | sin | + | + | - | - | | sin ? | •-------+-------+-------+-------+-------• | tg ? = ----- , cos ? <> 0 | | cos | + | - | - | + | | cos ? | •-------+-------+-------+-------+-------• | | | tg | + | - | + | - | | cos ? | •-------+-------+-------+-------+-------• | cotg ? = ----- , sin ? <> 0 | | cotg | + | - | + | - | | sin ? | •-------•-------•-------•-------•-------• •--------------------------------• Grafy funkcí | | | |------------------------------ | | | | | •------------------------------ | | | | | |------------------------------ | | | | | | | SINUS --------+-------- --------+-------- | | | | | | | |------------------------------ | | | | | •------------------------------ | | | | | |------------------------------ | | | KOSINUS TANGENS KOTANGENS •---------•--------•--------•--------•--------•--------• | ? | 0o | 30o | 45o | 60o | 90o | •---------+--------+--------+--------+--------+--------• | sin ? | 0 | 1/2 | ?2/2 | ?3/2 | 1 | •---------+--------+--------+--------+--------+--------• | cos ? | 1 | ?3/2 | ?2/2 | 1/2 | 0 | •---------+--------+--------+--------+--------+--------• | tg ? | 0 | ?3/3 | 1 | ?3 | - | •---------+--------+--------+--------+--------+--------• | cotg ? | - | ?3 | 1 | ?3/3 | 0 | •---------•--------•--------•--------•--------•--------• •-------•-----•-----•-----•-----•-----• | | 0 | ?/2 | ? | 3?/2| 2? | •-------+-----+-----+-----+-----+-----• | sin | 0 | 1 | 0 | -1 | 0 | •-------+-----+-----+-----+-----+-----• | cos | 1 | 0 | -1 | 0 | 1 | •-------+-----+-----+-----+-----+-----• | tg | 0 | - | 0 | - | 0 | •-------+-----+-----+-----+-----+-----• | cotg | - | 0 | - | 0 | - | •-------•-----•-----•-----•-----•-----• Periodičnost goniometrických funkcí sin (? + k.2?) = sin ? -• | cos (? + k.2?) = cos ? | •- k ? Z tg (? + k.?) = tg ? | | cotg (? + k.?) = cotg ? -• Hodhoty sinu a kosinu se opakují po 2?, hodnoty tangenty a kotangenty po ?. Vztahy mezi goniometrickými funkcemi stejného argumentu sin2? + cos2? = 1 tg ? . cotg ? = 1 sin ? 1 tg ? = ----- 1 + tg2? = ----- cos ? cos2? cos ? 1 cotg ? = ----- 1 + cotg2? = ----- sin ? sin2? Vztahy mezi goniometrickými funkcemi doplňkových úhlů sin ? = cos (90o - ?) cos ? = sin (90o - ?) tg ? = cotg (90o - ?) cotg ? = tg (90o - ?) Základní goniometrické vzorce Součtové věty: sin (? ± ?) = sin ? cos ? ± cos ? sin ? cos (? ± ?) = cos ? cos ? ± sin ? sin ? tg ? ± tg ? tg (? ± ?) = --------------- 1 + tg ? tg ? Goniometrické funkce násobného úhlu: sin 2? = 2 sin ? cos ? cos 2? = cos2? - sin2? 2 . tg ? tg 2? = -------- 1 - tg2? Goniometrické funkce polovičního úhlu: ? • 1 - cos ? • | sin - | = ?| --------- | 2 • 2 • ? • 1 + cos ? • | cos - | = ?| --------- | 2 • 2 • ? • 1 - cos ? • | tg - | = ?| --------- | 2 • 1 + cos ? • Převod součtu a rozdílu sinů a kosinů na součin: ? + ß ? - ß sin ? + sin ß = 2 . sin ----- . cos ----- 2 2 ? + ß ? - ß sin ? - sin ß = 2 . cos ----- . sin ----- 2 2 ? + ß ? - ß cos ? + cos ß = 2 . cos ----- . cos ----- 2 2 ? + ß ? - ß cos ? - cos ß = 2 . sin ----- . sin ----- 2 2 4 . A r i t m e t i c k á p o s l o u p n o s t Definice : Posloupnost nekonečná je funkce, jejímž definičním oborem jsou všechna při- rozená čísla (bez omezení). n ? N Posloupnost konečná je funkce, jejímž definičním oborem jsou přirozená čísla menší než n0. n < n0 ? N Aritmetickou posloupností nultého řádu nazýváme konstantní posloupnost (d = 0). Číslo d se nazývá diference aritmetické posloupnosti [an]. Zápis posloupnosti • (-1)n •? | ----- | nekonečná posloupnost zapsaná n-tým členem • n •n=1 • n •n0 | ----- | konečná posloupnost • n + 1 •n=1 Obecně : • • | an | • || • |•------- index člene •-------- n-tý člen Grafické znázornění posloupnosti • n + 1 •? 3 4 5 6 | ----- | ..... 2 ; - ; - ; - ; - ; ..... • n •n=1 2 3 4 5 an| | 2 + . . . x Grafem jsou izolované body | . | . . . . . . . x | . . | . . . . . . . . . . . x | . . . . . . . . . . . . . . ..x 1 + . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x | . . . . . | . . . . . | . . . . . | . . . . . | . . . . . ----+-------•-------•-------•-------•-------•------- 0| 1 2 3 4 5 n | Rekurentní zadání aritmetické posloupnosti Aritmetická posloupnost je zadána rekurentně, jestliže je zadáno něko- lik prvních členů a předpis, jak tvořit členy další. Příklad : Posloupnost je zadána : a1 = 1 ; a2 = 2 an+2 = an+1 + an ---------------- předpis pro : n = 1 : a3 = a2 + a1 = 2 + 1 = 3 n = 2 : a4 = a3 + a2 = 3 + 2 = 5 n = 3 : a5 = a4 + a3 = 5 + 3 = 8 n = 4 : a6 = a5 + a4 = 8 + 5 = 13 . . . Posloupnost rostoucí a klesající Rostoucí : an+1 > an např. 3, 7, 11, 15, ... 3 4 5 Klesající : an+1 < an např. 2, - , - , - ... 2 3 4 Pro součet prvních n členů aritmetické posloupnosti platí : a1 + an sn = a1 + a2 + ... + an = ------- n 2 Pro n-tý člen aritmetické posloupnosti platí : an = ak + (n - k) d pro všechna n,k ? N 5 . L i m i t a f u n k c e Abychom mohli definovat limitu, zavedeme nejprve pojem okolí bodu. ? ? ------------+--------+--------+-------------- a - ? a a + ? Interval ( a - ? ; a + ? ) je otevřené okolí bodu a. Interval < a - ? ; a + ? > je uzavřené okolí bodu a. •--------•--------• •------------- ? okolí bodu a Definice limity : Funkce f(x) má v bodu x = a limitu A, jestliže pro každé libovolně zvolené ? > 0 existuje ? > 0 takové, že pro x z ? okolí bodu a je hodnota funkce f(x) v ? okolí A. lim f(x) = A x->a nazýváme V bodech, v nichž je funkce definována, je limita rovna funkční hodnotěa vypočteme ji přímo dosazením. y| | y = f(x) | | | •-------------• | | |? | A•----------• | |? | | •-------• | | | | | | | |? | ?| --------+-------•--•--•-------------- 0| a-? a a+? x | Věty o limitě 1) Konstantní funkce : y = c lim c = c x->a 2) lim c f(x) = c . lim f(x) x->a x->a 3) lim [ f(x) ± g(x) ] = lim f(x) ± lim g(x) x->a x->a x->a 4) lim [ f(x) . g(x) ] = lim f(x) . lim g(x) x->a x->a x->a lim f(x) f(x) x->a 5) lim ---- = -------- lim g(x) <> 0 x->a g(x) lim g(x) x->a x->a 6) Jestliže f(x) = g(x) , pak lim f(x) = lim g(x) x->a x->a Nevlastní limita funkce Říkáme, že funkce y = f(x) má v bodě a nevlastní limitu + ? resp . ? , právě když ke každému číslu K existuje takové číslo ? > 0, že provšechny x, pro něž je 0 < | x - a | < ?, platí f(x) > K, resp. f(x) < K. lim f(x) = + ? resp. lim f(x) = - ? x->a x->a Příklad : 1 lim ----- = ? D(f) = R{3} x->3 x - 3 | •------- limita nevlastní x | 3,1 | 3,01 | 3.001 | . . . | 2,999 | 2,99 | 2,9 ----+-------+-------+-------+-------+-------+-------+------- y | 10 | 100 | 1000 | . . . | -1000 | -100 | -10 Limita funkce v nevlastním bodě Říkáme, že funkce y = f(x) má v nevlastním bodě + ?, resp. - ? limituA, právě když ke každému číslu ? > 0 existuje takový bod c, že pro všechnybody x > c, resp. x < c platí | f(x) - A | < ?. lim f(x) = A resp. lim f(x) = A x->? x->? Derivace funkce Definice : Derivace funkce je limita podílu přírůstku funkce ku přírůstku proměnné_x, když _x->0. Geometricky představuje derivace funkce y = f(x) směrnicitečny t grafu funkce y = f(x) v daném bodu x. f( x + _x ) - f(x) y' = lim ------------------ _x->0 _x y| | y = f(x) | | | B s | | | t | A ? | _y | •--------------• | | | | |f(x) |f(x+_x) | | | | | | ----+----------•--------------•------------------ 0| x _x x+_x x _y | ks = tg ? = -- _x _y = f(x + _x) - f(x) _x . . . přírůstek proměnné x _y . . . přírůstek funkce ks . . . směrnice sečny AB 6 . M O I V R O V A V Ě T A Číslo komplexní je číslo složené z části reálné a části ryze imaginární. Pro komplexní číslo z = [a,b] se zavádějí tyto pojmy: a = Re z - reálná část komplexního čísla z _ b = Im z - imaginární část komplexního čísla z z = [a,-b] - číslo komplexně sdružené k číslu z |z| = ?(a2 + b2) - absolutní hodnota (modul) komplexního čísla z Goniometrický tvar komplexního čísla a = a1 + a2i - součtový (algebraický) tvar |a| = ?(a12 + a22) - velikost komplexího čísla a (absolutní hodnota) y | | | A(a) | |a| | | |a2 | | | ? | ------------+-----------------------•---------------- 0| x | ? - argument komplexního čísla - je to orientovaný úhel s počátečním ramenem +x a koncovým ramenem |a| (orientovaný úhel je úhel, který má určeno počáteční a koncové rameno. Komplexní číslo a = a1 + a2i vyjádřené pomocí argumentu ? a absolutní hodnoty |a|: a1 cos ? = --- -" a1 = |a| . cos ? |a| a2 sin ? = --- -" a2 = |a| . sin ? |a| a = a1 + a2i a = |a| . cos ? + i|a| . sin ? a = |a| . (cos ? + i sin ?) - komplexní číslo v goniometrickém --------------------------------- tvaru ( |a| = 0 ) ...... a0 = cos ? + i sin ? - komplexní jednotka v gonio- metrickém tvaru Násobení komplexních čísel v goniometrickém tvaru a = |a|.(cos ? + i sin ?) b = |b|.(cos ? + i sin ?) ----------------------------- a . b = |a|.(cos ? + i sin ?).|b|.(cos ? + i sin ?) = = |a|.|b|.(cos ? cos ? + i cos ? sin ? + i sin ? cos ? + i sin ? sin ?) = = |a|.|b|.[cos ? cos ? - sin ? sin ? + i(sin ? cos ? + sin ? cos ?)] = = |a|.|b|.[cos(? + ?) + i sin(? + ?)] ------------------------------------- Absolutní hodnota součinu dvou komplexních čísel je rovna součinu abso- lutních hodnot jednotlivých činitelů. Argument součinu dvou komplexních čísel je roven součinu argumentů jednotlivých činitelů. Pro komplexní jednotky a0 = cos ? + i sin ? b0 = cos ? + i sin ? ------------------------ a0 b0 = cos(? + ?) + i sin(? + ?) Součin komplexních jednotek je opět komplexní jednotka, která má argu- ment rovný součtu jednotlivých činitelů. Mocnina komplexního čísla v goniometrickém tvaru a = |a|.(cos ? + i sin ?) a2 = |a|2.(cos 2? + i sin 2?) an = |a|n.(cos n? + i sin n?) Moivrova věta: |a| = 1 ...... a0 = cos ? + i sin ? •----------------------------------------------------• | a0n = (cos ? + i sin ?)n = cos n? + i sin n? | •----------------------------------------------------• Umocníme-li komplexní jednotku na n-tou, pak výsledkem je opět komplex- ní jednotka s argumentem n?. 7 . G R A F Y G O N I O M E T R I C K Ý C H F U N K C Í Goniometrické funkce je společenský název pro funkce sinus (symbol sin), kosinus (symbol cos), tangens (symbol tg) a kotangens (symbol cotg). Jednotková kružnice y ?/2 II. 1 | I. | 0 < ? < ?/2 | | ?/2 < ? < ? M | N | | | |yM |? ? |yM ? | | | ------•--------------+--------------•------ -1 xM 0| xN 1 x | | | | | | III. -1 | IV. 3?/2 Vztahy mezi goniometrickými funkcemi stejného argumentu sin2? + cos2? = 1 tg ? . cotg ? = 1 sin ? 1 tg ? = ----- 1 + tg2? = ----- cos ? cos2? cos ? 1 cotg ? = ----- 1 + cotg2? = ----- sin ? sin2? Sestrojení základní sinusoidy y = sin x y| |--------------|----------------------------------------- |--------------|---------------------------------------- --------------+--------------+----------------------------------------- |--------------|----------------------------------------x |--------------|----------------------------------------- | napřímený úhel Význam konstant sinusoidy y = A . sin (bx + c) A - amplituda sinusovky (přímá úměrnost) b - frekvence sinusovky (nepřímá úměrnost) c - fázový posun Grafy goniometrických funkcí, definiční obor, obor hodnot f1 = { [x,y] ; y = sin x, x?R, y?<-1,1> } ................... (sinusoida) f2 = { [x,y] ; y = cos x, x?R, y?<-1,1> } ................. (kosinusoida) f3 = { [x,y] ; y = tg x, x?R {(2k + 1).1/2? }, y?R } ...... (tangentoida) f4 = { [x,y] ; y = cotg x, x?R { k? }, y?R } .......... (kotangentoida) | | |------------------------ |------------------------------ | | ---------+------------------------ | | | |------------------------ -------+------------------------------ | | | |------------------------------ | | 8 . A N A L Y T I C K É V Y J Á D Ř E N Í P Ř Í M K Y Přímka je průsečnicí dvou rovin. Značí se malými latinskými písmeny (a, b, p, g, ...). Jsou-li A, B dva různé body přímky, pak se tato přímka značí " Přímka AB ". Parametrické rovnice přímky . y| . | | -> . X = [x,y] | s . | A . | . | . | . | . | . -> .| |y1 . s - směrový vektor . | | . | | ------------+-------•------------------------------- 0| x1 x | Směrový vektor přímky je každý vektor rovnoběžný s touto přímkou. -> Přímka je dána bodem A = [x1;y1] a směrovým vektorem s (s1;s2) : -> p = ( A ; s ) Bod X má souřadnice [x;y]. Rovnice přímky je vztah, který platí pro souřad- nice každého bodu X přímky p : x = x1 + ts1 t - parametr y = y1 + ts2 Parametrické rovnice přímky v prostoru x = x1 + ts1 y = y1 + ts2 t - parametr z = z1 + ts3 Směrnicový tvar rovnice přímky y| . | . | . | . | . y = kx + q | . | . | . | . .| . |q . o | ------------+--------------------------------------- . 0| x | k = tg o je tzv. směrnice přímky, přičemž o je orientovaný úhel, jehož vrchol je v počátku souřadného systému, jedno rameno tvoří osa x a druhé rameno je rovnoběžné s danou přímkou libovolně orientovanou. q - tzv. úsek vyťatý přímkou na ose y (y-ová souřanice průsečíku přímky s osou y). k > 0 - přímka je grafem rostoucí funkce y = kx + q k = 0 - přímka je rovnoběžná s osou x k < 0 - přímka je grafem klesající funkce y = kx + q q = 0 - přímka prochází počátkem Obecná rovnice přímky -> Odvození : p ? (A = [x1;y1], s (s1;s2)] p : x = x1 + ts1 / .s2 y = y1 + ts2 / .(-s1) ---------------------- x . s2 = x1s2 + ts1s2 • + -y . s1 = -s1y1 - ts1s2 • ----------------------- xs2 - ys1 = x1s2 - y1s1 s2x - s1y + y1s1 - x1s2 = 0 -- -- •-----------• A B C A x + B y + C = 0 - Přímka je dána lineární rovnicí o dvou proměnných A = s1 B = -s2 -> s2 = -B -> Směrový vektor přímky : s = (-B ; A) -> Vektor n = (A ; B) nazýváme normálový vektor přímky (protože je k ní kolmý). Důkaz : Pomocí skalárního součinu vektorů : -> -> -> -> -> -> s . n = -B . A + A . B = 0 -> n • s -> n • p kde a,b,c jsou konstanty, přičemž konstanty a,b <> 0. Převedení obecné rovnice přímky na směrnicový tvar a c a c y = - - x - - (b <> 0), k = - - , q = - - b b b b Obecná rovnice přímky v prostoru neexistuje. 9 . N E P Ř Í M Á Ú M Ě R N O S T A M O C N I N N É F c e . Každá funkce, daná rovnicí k y = --- , k ? R {0} x kde k je libovolné reálné číslo různé od nuly, se nazývá nepřímá úměrnost. k > 0 k < 0 | | | | | | ------------+------------- ------------+------------- | | | | | | Definiční obor i obor hodnot jsou prvky R {0}. Grafem nepřímé úměrnosti je rovnoosá hyperbola. 1 0 . K V A D R A T I C K Á N E R O V N I C E Nerovnice jsou zápisy tvaru : e(x) > p(x) e(x) < p(x) e(x) ? p(x) e(x) ? p(x) Dovolené úpravy nerovnic jsou obdobné jako úpravy rovnic, až na vyjímky : 1) Násobíme-li obě strany nerovnice záporným číslem, obrátí se znak nerovnice. Příklad : 2 < 5 / . (-1) -2 > -5 2) Přejdeme-li na obou stranách nerovnice k převráceným hodnotám, obrátí se znak nerovnice. Příklad : 2 < 4 1/2 > 1/4 Kvadratické nerovnice jsou zápisy tvaru : ax2 + bx + c > 0 ax2 + bx + c ? 0 ax2 + bx + c < 0 ax2 + bx + c ? 0 Kvadratická nerovnice se řeší rozkladem kvadratického trojčlenu na součin : ax2 + bx + c = a . (x - x1) . (x - x2) Příklad : Řešte v oboru R : x2 - 2x - 15 > 0 x2 - 2x - 15 - rozložíme na součin : x2 - 2x - 15 = 0 x1 = 5, x2 = -3 x2 - 2x - 15 = (x - 5) . (x + 3) (x - 5) . (x + 3) > 0 (x > 5 x < -3) (x < 5 x > -3) ------------------ ------------------ P1 = o P2 = (-3;5) P = ( -3 ; 5 ) Grafické řešení kvadratické nerovnive Je dána nerovnice ax2 + bx + c N 0 , kde N je znak nerovnosti. Nakreslíme graf funkce f: y = ax2 + bx + c, a z průsečíků, příp. průsečíku grafu funkce (paraboly) určíme řešení dané nerovnice. 1 1 . Ř E Š E N Í P R A V O Ú H L É H O T R O J Ú H E L N Í K U Řešit pravoúhlý trojúhelník znamená určit na základě daných prvků prvky ostatní. C | |? | b | a |vc | | ? c2 | c1 ? A -------------•------------------------ B D c a,b - délky odvěsen ? = 90o = 1/2 ? rad - velikost úhlu proti přeponě c - délka přepony vc - délka výšky k přeponě Pythagorova věta a2 + b2 = c2 Slovy : Obsah čtverce sestrojeného nad přeponou se rovná součtu obsahů čtverců, sestrojených nad oběma odvěsnami. Euklidova věta o odvěsně a2 = c . ca b2 = c . cb Euklidova věta o výšce (vc)2 = ca . cb Goniometrické funkce je společenský název pro funkce sinus (symbol sin), kosinus (symbol cos), tangens (symbol tg) a kotangens (symbol cotg). V pravoúhlém trojúhelníku platí tyto vztahy: protilehlá odvěsna přilehlá odvěsna sin = ------------------ cos = ---------------- přepona přepona protilehlá odvěsna přilehlá odvěsna tg = ------------------ cotg = ------------------ přilehlá odvěsna protilehlá odvěsna Určenost pravoúhlého trojúhelníka Pravoúhlý trojúhelník je určen, jsou-li dány alespoň : - obě odvěsny - přepona a jedna odvěsna - přepona a úhel k ní přilehlý ŘEŠENÍ PRAKTICKÝCH ÚLOH Příklad 2: Schodiště s padesáti schody má výšku 9 m a sklon 24o. Vypočtěte výšku v a šířku s jednoho schodu. | _ ABC : | | 9 | v = -- = 0,18 | 50 | | v 0,18 -----------------------------------• s = ----- = ---- = 0,4 sin ? 0,45 Jeden schod je 40 cm široký a 18 cm vysoký. Příklad 1: Určete namáhání na tlak a tah u nosníků podle obrázku. | ----+------------------------------ G = 1800 N | ? = 52o | ------------ | F1 = ? | F2 = ? | | | _ MPN : | | G G | sin ? = --- .......... F2 = ----- F2 sin ? G G tg ? = --- .......... F1 = ---- F1 tg ? F1 = 1406,31 N F2 = 2284,23 N 1 2 . Ú P R A V A A L G E B R A I C K Ý C H V Ý R A Z Ů Základní algebraické vzorce (a + b) . (a - b) = a2 - b2 - rozdíl čtverců (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + a3 (a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - a3 Usměrňování zlomků Usměrnit zlomek znamená odstranit odmocninu nebo odmocniny ze jmnenovatele vhodným rozšířením zlomku. Příklad : 1 / .(4 - ?8) 4 - ?8 4 - ?8 4 - ?8 ------ = ------------------- = -------- = ------ 4 + ?8 / .(4 - ?8) (4 + ?8) . (4 - ?8) 42 - ?82 8 1 3 . E X P O N E N C I Á L N Í A L O G A R I T M I C K É F c e . I N V E R Z N Í F U N K C E Definice funkce Množina M je podmnožinou množiny R. Funkce f je množina uspořádaných dvojic [x;y], pro které platí : každému x ? M je přiřazeno právě jedno y ? R (ne více !). Proměnná x se nazývá nezávisle proměnná [argument] a proměnná y se na- zývá závisle proměnná. Číslo y ? R se pro určité x ? R (pro něž platí [x;y] ? f) nazývá funkční hodnota funkce f a označuje se f(x). Jinak : Funkce je každé zobrazení v množině R. Grag funkce y = f(x) je množina všech bodů o souřadnicích [x;f(x)], kde x ? D(f). Definiční obor funkce f je množina D, která má tu vlastnost, že ke každému číslu x ? D je přiřazeno právě jedno takové číslo y, aby platilo [x;y] ? f. Definiční obor funkce značíme D(f). Obor hodnot funkce f je množina H, která má tu vlastnost, že ke každému čís- lu y ? H existuje takové číslo x ? D, aby platilo [x;y] ? f. Obor hodnot funkce značíme H(f). Funkce prostá Funkce y = f(x) s definičním oborem D se nazývá prostá, jestliže pro každá dvě čísla x1, x2 ? D (x1 <> x2) platí f(x1) <> f(x2). Funkce inverzní Jestliže funkce y = f(x) je prostá na intervalu D a jejím obrem hodnot je množina H, lze na množině H definovat takovou funkci, která každému y ? H přiřazuje právě jedno číslo x ? D, pro které platí f(x) = y. Tato fun- kce se nazývá funkce inverzní k funkci f a značí se f-1. Funkce f a f-1 se pak nazývají vzájemně inverzní. Definičním oborem funkce f-1 je obor hodnot funkce f, a oborem hodnot funkce f-1 je definiční obor funkce f. Grafy funkcí f a f-1 jsou souměrné podle osy prvního a třetího kvadrantu. Jestliže funkce f je dána v analytickém tvaru y = f(x), pak analytický tvar inverzní funkce dostaneme tak, že v analytickém tvaru funkce f všude místo x píšeme y a místo y píšeme x a v takto získaném vyjádření osamostast- níme y. Exponenciální funkce Obecný tvar funkce : y = ax (a > 0) Graf exponenciální funkce : (vždy prochází bodem [0;1], protože a0 = 1) y | 9• | 8• | 7• | 6• | 5• | 4• | 3• | 2• | y=1x -------------------------+-------------------------- 1| ---------------------------+----------------------------- -4 -3 -2 -1 0| 1 2 3 4 x Definiční obor : D(f) = R Obor hodnot : H(f) = R+{0} (všechna kladná reálná čísla) Logariotmická funkce Obecný tvar funkce : y = logax (x > 0 , a > 0 , a <> 1) Graf logaritmické funkce : (vždy prochází bodem [1;0], protože loga 1 = 0) y 4• 3• 2• 1• --+-------------------------------------------------- -1• 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x -2• -3• -4• Funkce logaritmická a exponenciální jsou vzájemně inverzní. 1 4 . S K A L Á R N Í S O U Č I N D V O U V E K T O R Ů O D C H Y L K Y V E K T O R Ů Protože u mnoha geometrických a fyzikálních veličin (např. u síly, rychlosti, zrychlení, intenzity elektrického pole, atd.) jsou podstatné ve- likost, a směr, vytváří se jejich model (tzv. geometrický vektor) pomocí pojmu orientované úsečky neboli pomocí uspořádané dvojice bodů v rovině. __ Vázaným vektorem nazýváme orientovanou úsečku AB nebo uspořádanou dvo- jici [A,B] bodů, přičemž bod A nazýváme počátečním bodem vektoru a bod B koncovým bodem vektoru. __ Nositelkou vázaného vektoru AB nazývame přímku AB. Volným vektorem nazýváme množinu všech vzájemně ekvivalentních vázaných vektorů (tzn. vektorů, které se rovnoběžným posunutím do jednoho společného bodu ztotožní). Zobrazení vektoru v souřadném systému Vektor v rovině je dán uspořádanou dvojicí souřadnic. _ __ u = AB A = [x1;y1] B = [x2;y2] u1 =x2 - x1 y u2 =y2 - y1 | ----------- _ | souřadnice vektoru u | | | _ B | u | | | | | y2 - y1 = u2 | A | | •---------------------------• | | x2 - x1 y2 | | | y1 •-------• | u = (u1;u2) | | u1 | ------------- | | | ----+-----------•---------------------------•--------------- 0| x1 x2 x _ _ _ _ Jestliže vektor u je reálným násobkem vektoru v, pak vektory u a v jsou rovnoběžné (kolineární); zapisujeme u || v. Opačně: _ _ _ _ Jestliže vektor u je kolineární s vektorem v, pak platí u = t . v. Dva nenulové vektory nazýváme souhlasně rovnoběžné (souhlasně olineární právě když jsou rovnoběžné a mají stejný směr. Dva nenulové vektory nazýváme nesouhlasně rovnoběžné (nesouhlasně koli- neární), právě když jsou rovnoběžné a mají opačný směr. Skalární součin vektorů _ _ u = (u1;u2) v = (v1;v2) : _ _ _ _ 1) u . v = |v| . |u| . cos ? _ _ 2) u . u = u1v1 + u2v2 Skalární součin kolmých vektorů je nula (cos 90o = 0). Je-li skalární součin nenulový, jsou vektory různoběžné. Odchylka dvou různoběžných vektorů Ze vzorců pro skalární součin vektorů odvodíme vztah u1v1 + u2v2 cov ? = ----------- |u|.|v| 1 5 . G O N I O M E T R I C K É R O V N I C E Goniometrickými rovnicemi nazýváme rovnice, které kromě konstant obsa- hují neznámou x (nebo výrazy s neznámou x) jako argumenty jedné nebo několi- ka goniometrikých funkcí, tj. rovnice tvaru f(sin x, cos x, tg x, cotg x, x) = 0 Základní goniometrickou rovnicí s neznámou x nazýváme rovnici typu g(x) = k, kde g je goniometrická funkce a k je reálné číslo. Vzhledem k periodičnosti goniometrických funkcí má každá základní goniometrická rovnice buď prázdný nebo nekonečný obor pravdivosti. Zpravidla hledáme jen řešení z intervalu <0o,360o>, tj. hledáme tzv. základní hodnoty. Početní způsob řešení Pomocí goniometrických vzorců převedeme goniometrické funkce s případ- nými různými argumenty na funkce s týmž argumentem. Potom případné různé go- niometrické funkce vyjádříme jedinou goniometrickou funkcí. Získané řešení je třeba vždy ověřit dosazením do výchozí rovnice, neboť úpravy rovnic nemu- sely být ekvivalentní. Příklad: Vypočtěte všechna x ? <0o,360o> z rovnice sin(2x) = sin x. Podle vzorce pro sin(2x) je 2 sin x cos x = sin x 2 sin x cos x - sin x = 0 Z poslední rovnice lze vytknout sin x : (sin x) (2 cos x - 1) = 0 sin x = 0 dává základní hodnoty x1 = 0o, x2 = 180o, x3 = 360o; 2 cos x - 1 = 0 dává základní hodnoty x4 = 60o, x5 = 300o. Zkouška ukazuje, že všechna nalezená řešení splňují danou rovnici, takže obor pravdivosi P = {0o, 60o, 180o, 300o, 360o} Gragický způsob řešení Upravíme danou rovnici na tvaf f(x) = g(x), kde f a g jsou goniometric- ké funkce a pro všechna x ? <0o,360o> sestrojíme grafy funkcí y = f(x) a y = g(x). Řešením jsou souřadnice průsečíků těchto grafů. Základní goniometrické vzorce Součtové věty: sin (? ± ?) = sin ? cos ? ± cos ? sin ? cos (? ± ?) = cos ? cos ? ± sin ? sin ? tg ? ± tg ? tg (? ± ?) = --------------- 1 + tg ? tg ? Goniometrické funkce násobného úhlu: sin 2? = 2 sin ? cos ? cos 2? = cos2? - sin2? 2 . tg ? tg 2? = -------- 1 - tg2? Goniometrické funkce polovočního úhlu: ? • 1 - cos ? • | sin - | = ?| --------- | 2 • 2 • ? • 1 + cos ? • | cos - | = ?| --------- | 2 • 2 • ? • 1 - cos ? • | tg - | = ?| --------- | 2 • 1 + cos ? • Převod součtu a rozdílu sínů a kosínů na součin: ? + ß ? - ß sin ? + sin ß = 2 . sin ----- . cos ----- 2 2 ? + ß ? - ß sin ? - sin ß = 2 . cos ----- . sin ----- 2 2 ? + ß ? - ß cos ? + cos ß = 2 . cos ----- . cos ----- 2 2 ? + ß ? - ß cos ? - cos ß = 2 . sin ----- . sin ----- 2 2 1 6 . Ú p r a v a g o n i o m e t r i c k ý c h v ý r a z ů Goniometrické funkce je společenský název pro funkce sinus (symbol sin), kosinus (symbol cos), tangens (symbol tg) a kotangens (symbol cotg). Jednotková kružnice y ?/2 II. 1 | I. | 0 < ? < ?/2 | | ?/2 < ? < ? M | N | | | |yM |? ? |yM ? | | | ------•--------------+--------------•--------- -1 xM 0| xN 1 x | | | | | | III. -1 | IV. 3?/2 M [xM,yM] •--------------------------------• •-------•-------•-------•-------•-------• | sin ? = yM | | | I. | II. | III .| IV. | | cos ? = xM | •-------+-------+-------+-------+-------• | | | sin | + | + | - | - | | sin ? | •-------+-------+-------+-------+-------• | tg ? = ----- , cos ? <> 0 | | cos | + | - | - | + | | cos ? | •-------+-------+-------+-------+-------• | | | tg | + | - | + | - | | cos ? | •-------+-------+-------+-------+-------• | cotg ? = ----- , sin ? <> 0 | | cotg | + | - | + | - | | sin ? | •-------•-------•-------•-------•-------• •--------------------------------• Základní vztahy mezi goniometrickými funkcemi sin2? + cos2? = 1 tg ? . cotg ? = 1 sin ? 1 tg ? = ----- 1 + tg2? = ----- cos ? cos2? cos ? 1 cotg ? = ----- 1 + cotg2? = ----- sin ? sin2? 1 7 . S Í N O V Á A K O S Í N O V Á V Ě T A Trojúhelník je n-úhelník pro n = 3. C ? b a ? ? --------------------------------------- A c B Věta sinová a : b : c = sin ? : sin ? : sin ? Poměr stran obecného trojúhelníka je roven poměru sinů vnitřních úhlů. Věta kosinová (rozšířená Pythagorova věta) •---------------------------------• | a2 = b2 + c2 - 2 bc cos ? | | | | b2 = a2 + c2 - 2 ac cos ? | | | | c2 = a2 + b2 - 2 ab cos ? | •---------------------------------• Obsah čtverce nad stranou obecného trojúhelníka je roven součtu obsahů čtverců nad ostatními stranami mínus dvojnásobný součin těchto stran a kosi- nu úhlu jimi sevřeném. Věty o určenosti trojúhelníka Trojúhelník je jednoznačně určen, jsou-li dány tyto jeho prvky: a) délka strany a velikosti dvou k ní přilehlých úhlů, jejichž součet veli- kostí je menší než 180o (věta usu) b) délky dvou stran a velikost úhlu jimi sevřeného (všta sus) c) dvě různé délky stran a velikost úhlu protilehlého k delší straně (věta Ssu) d) délky tří stran, pro něž platí |a - b| < c < a + b (věta sss) Řešení obecného trojúhelníka Řešit obecný trojúhelník znamená určit na základě daných prvků prvky ostatní. 1) Je dána strana a a úhly ?,? (usu) : ? = 180o - (? + ?) sinová věta : a sin ? a sin ? b = ------- c = ------- sin ? sin ? 2) Jsou dány strany a,b (b > a) a úhel ? (Ssu) : sinová věta : a a sin ? sin ? = - . sin ? c = ------- b sin ? ? = 180o - (? + ?) 3) Jsou dány strany b,c a úhel ? (sus) : kosinová věta : a2 = b2 + c2 - 2 bc cos ? sinová věta : b sin ? = - . sin ? a ? = 180o - (? + ?) 4) Jsou dány strany a,b,c (sss) : kosinová věta : b2 + c2 - a2 cos ? = ------------ 2 bc sinová věta : b sin ? = - . sin ? a ? = 180o - (? + ?) 1 8 . K O L I N E Á R N Í A L I N E Á R N Í F U N K C E Definice funkce Množina M je podmnožinou množiny R. Funkce f je množina uspořádaných dvojic [x;y], pro které platí : každému x ? M je přiřazeno právě jedno y ? R (ne více !). Proměnná x se nazývá nezávislé proměnná [argument] a proměnná y se na- zývá závisle proměnná. Číslo y ? R se pro určité x ? R (pro něž platí [x;y] ? f) nazývá funkční hodnota funkce f a označuje se f(x). Jinak : Funkce je každé zobrazení v množině R. Grag funkce y = f(x) je množina všech bodů o souřadnicích [x;f(x)], kde x ? D(f). Definiční obor funkce f je množina D, která má tu vlastnost, že ke kaž- dému číslu x ? D je přiřazeno právě jedno takové číslo y, aby platilo [x;y] ? f. Definiční obor funkce značíme D(f). Obor hodnot funkce f je množina H, která má tu vlastnost, že ke každému číslu y ? H existuje takové číslo x ? D, aby platilo [x;y] ? f. Obor hodnot funkce značíme H(f). Konstantní funkce f(x) = c je taková funkce, jejíž obor hodnot nabývá pouze jednoho čísla (konstanty c). Definičním oborem této funkce je celá množina reálných čísel. Grafem konstantní funkce je přímka rovnoběžná s osou x. y | | 3• | 2• y = 1.5 ---------------+------------------------------------ 1• | ----------------+-------------------------------------- x -2 -1 0| 1 2 3 4 5 -1• | 1 9 . K V A D R A T I C K Á R O V N I C E Kvadratická funkce Je to každá funkce y = ax2 + bx + c a ? R , b,c ? R f : {[x,y] ? RxR ; y = ax2 + bx + c } ax2 ..... kvadratický člen bx ...... lineární člen c ....... absolutní člen Kvadratická rovnice y = 0 : ax2 + bx + c = 0 Hledáme hodnoty proměnné x, pro které je hodnota funkce rovna nule. Řešení kvadratické rovnice 1. Rovnice bez absolutního člene - řeší se vytknutím x c = 0 : ax2 + bx = 0 x . (ax + b) = 0 I. x1 = 0 II. ax + b = 0 b b x2 = - --- P = { 0, - --- } a a Kvadratická rovnice bez absolutního člene má vždy dva kořeny, z nichž jeden je roven nule. 2. Rovnice ryze kvadratická b = 0 : ax2 + c = 0 c x2 + --- = 0 a • c • x2 - | - --- | = 0 • a • •--------------• • c •2 | c | x2 - | - --- | = 0 | - --- ? 0 | • a • | a | •--------------• • c • • c • | x + - --- | . | x - - --- | = 0 • a • • a • c I. x + - --- = 0 a c x1 = - - --- a c II. x - - --- = 0 a c x2 = - --- a c P = { ± - --- } a Ryze kvadraticnká rovnice má vždy dva kořeny, které se liší pouze znamením 3. Úplaná (obecná) kvadratická rovnice ax2 + bx + c = 0 • b c • a . | x2 + - x + - | = 0 / :a • a a • b c x2 + - x + - = 0 a a • b •2 b2 c b | x + -- | - --- + - = 0 x + -- = y • 2a • 4a2 a 2a b2 c y2 - --- + - = 0 4a2 a b2 c y2 - --- + - = 0 4a2 a b2 c y2 = --- - - - rovnice ryze kvadratická 4a2 a b2 - 4ac y2 = -------- / 4a2 b2 - 4ac y12 = ± -------- 4a2 b2 - 4ac y12 = ± --------- 2a b b2 - 4ac x12 = - -- ± --------- 2a 2a - b ± b2 - 4ac x12 = ---------------- 2a b2 - 4ac = D - diskriminant kvadratické rovnice Význam diskriminantu D -b ± D x12 = -------- 2a D > 0 - dva kořeny reálné různé (řešením je dvouprvková množina reálných čísel) D = 0 - jeden kořen dvojnásobný (řešením je jednoprvková množina) D < 0 - rovnice nemá reálné řešení Rozklad kvadratického trojčlenu na součin ax2 + bx + c = 0 a,b,c ? R 0 - kvadratický trojčlen položme ax2 + bx + c = 0 .......... dostaneme kořeny x1, x2 b c x1 + x2 = - - x1 . x2 = - a a • b c • ax2 + bx + c = a . | x2 + - x + - | = • a a • • • = a . | x2 - (x1 + x2) . x + x1 . x2 | = • • • • = a . | x2 - x . x1 - x . x2 + x1 . x2 | = • • • • = a . | x . (x - x1) - x2 . (x - x1) | • • = a . (x - x1) . (x - x2) - součin kořenových činitelů Závěr : ax2 + bx + c = a . (x - x1) . (x - x2) , kde x1, x2 jsou kořeny kvadratické rovnice ax2 + bx + c = 0. 2 0 . Ř e š e n í s o u s t a v y r o v n i c K jednoznačnému určení množiny všech řešení soustavy rovnic s n nezná- mými je třeba n vzájemně nezávislých a vzájemně si neodporujících rovnic. Způsob řešení spočívá v tom, že se n rovnic s n neznámými postupně redukuje na jednu rovnici s jednou neznámou. Pomocí hodnoty jedné neznámé vypočtené z této rovnice lze postupně najít hodnoty ostatních neznámých. ZÁKLADNÍ METODY ŘEŠENÍ SOUSTAV Dosazovací (substituční, vylučovací) metoda Řešíme jednu z rovnic pro kteroukoliv neznámou a získaný výraz dosadíme do druhé rovnice. Tím odstraníme jednu proměnnou. Pokud po dosazení dostane- me rovnost 0 = 0, má soustava nekonečně mnoho řešení, pokud dostaneme ne- pravdivý výrok, nemá soustava žádné řešení. Sčítací (aditační, slučovací) metoda Obě strany každé rovnice vynásobíme takovým vhodným číslem, aby u jedné z neznámých byl v obou rovnicích stejný koeficient, ale s opačným znaménkem. Sečtením obou rovnic příslušnou neznámou odstraníme. Pokud po dosazení dos- taneme rovnost 0 = 0, má soustava nekonečně mnoho řešení, pokud dostaneme nepravdivý výrok, nemá soustava žádné řešení. 2 1 . K o n s t r u k t i v n í ú l o h y Shodné zobrazení Shodné zobrazení (shodnost) je takové zobrazení, které každým dvěma prvkům A, B přiřazuje obrazy A',B' tak, že platí |AB| = |A'B'|. Samodružné body - takové body, které jsou daným zobrazením přiřazeny samy sobě (A ? A'). Shodná zobrazení v rovině : - osová souměrnost - středová souměrnost - otáčení - posunutí - totožnost 2 2 . N - t á o d m o c n i n a n e z á p o r n é h o č í s l a Nezáporné číslo b, pro něž platí bn = a , se nazývá n-tá odmocnina z čísla a, a značí se n?a (místo 2?a píšeme ?a). Číslo a se nazývá základ odmocníny (odmocněnec) a číslo n se nazývá odmocnitel. ( a,b ? R0+, n ? N ) Pro odmocniny platí ( a,b ? R0+, m,n ? N, k ? Z ) : Existuje právě jedno číslo b, pro něž platí bn = a. Dále n?0 = 0 n?1 = 1 1?a = a n?(ab) = n?a . n?b • a • n?a n?| - | = --- (b <> 0) • b • n?b (n?a)k = n?ak = ak/m (a <> 0) n?a . m?a = nm?an+m ?a + ?b = ?[a + b + 2?(ab)] ?a - ?b = ?[a + b - 2?(ab)] (a ? b) • a + ?(a2 - b) • • a - ?(a2 - b) • ?(a ± ?b) = ?| ------------- | ± ?| ------------- | (a2 ? b) • 2 • • 2 • Usměrňování zlomků Usměrnit zlomek znamená odstranit odmocninu nebo odmocniny ze jmnenovatele vhodným rozšířením zlomku. Příklad : 1 / .(4 - ?8) 4 - ?8 4 - ?8 4 - ?8 ------ = ------------------- = -------- = ------ 4 + ?8 / .(4 - ?8) (4 + ?8) . (4 - ?8) 42 - ?82 8 Příklady : 1 ?a -- = -- (a > 0) ?a a 1 a ± ?b ------ = ------ (a2 <> b, b > 0) a ± ?b a2 - b 1 ?a ± ?b ------- = ------- (a <> b, a > 0, b > 0) ?a ± ?b a - b 2 3 . O b s a h y r o v i n ý c h o b r a z c ů Základní vzorce 1. Rovnoběžník ............... S = ava = ab sin ? a) obdélník ............. S = ab b) čtverec .............. S = a2 c) kosočtverec .......... S = av = 1/2 u1u2 2. Trojúhelník : S = 1/2 ava = 1/2 bvb = 1/2 cvc S = 1/2 ab sin ? = 1/2 bc sin ? = 1/2 ac sin ? ------------------------------- a + b + c S = / s . (s - a) . (s - b) . (s - c) , s = --------- 2 a + c 3. Lichoběžník ............... S = ----- v 2 Obsah kruhu a jeho částí ? . d2 Obsah kruhu ........................... S = ? . r2 = ------ 4 Obvod kruhu ........................... o = 2 ? r = ? d ? r2 ? Obsah kruhové výseče ...... Sv = ------ = 1/2 r2 arc ? = 1/2 l r 360 Kruhová výseč je průnik kruhu a středového úhlu. Obsah kruhové úseče ...... Su = 1/2 r2 (arc ? - sin ?) Kruhová úseč je průnik kruhu a poloroviny. 2 4 . G e o m e t r i c k á p o s l o u p n o s t Posloupnost {an} se nazývá geometrická posloupnost, právě když platí : an+1 = an . q pro všechna n ? Z, kde číslo q<>0 se nazývá kvocient geometrické posloupnosti {an}. {an} = (a1, a1q, a1q2, a1q3, ...... ) Pro q > 1 je geometrická posloupnost při : a1 > 0 - rostoucí a1 < 0 - klesající Pro 0 < q < 1 je geometrická posloupnost při : a1 > 0 - klesající a1 < 0 - rostoucí Pro q < 0 je geometrická posloupnost alternující (se střídavými znaménky) Pro q = 1 je dostaneme konstantní posloupnost, (s konstantními členy). Pro n-tý člen geometrické posloupnosti platí : an = a1qn-1 pro všechna n ? N Pro součet prvních n členů geometrické posloupnosti platí : a1(qn - 1) anq - a1 sn = ---------- = -------- pro q <> 1 q - 1 q - 1 sn = a1n pro q = 1 Pravidelný vzrůst 2 5 . K o m p l e x n í č í s l o Číslo komplexní je číslo složené z části reálné a části ryze imaginární. Pro komplexní číslo z = [a,b] se zavádějí tyto pojmy: a = Re z - reálná část komplexního čísla z _ b = Im z - imaginární část komplexního čísla z z = [a,-b] - číslo komplexně sdružené k číslu z |z| = ?(a2 + b2) - absolutní hodnota (modul) komplexního čísla z Grafické znázornění komplexních čísel Protože každému komplexnímu číslu z přísluší právě jedna uspořádaná dvojice [a,b], lze je znázornit jako bod [a,b] v tzv. Gaussově rovině (rovi- na komplexních čísel). y | A(a) 4i| . . . . . . . x bod A je obra§ B | . zem komplexního x . . . . . 3i| . čísla a . | . . 2i| . . | . . 1i| . ---------------------------+---------------------------- -4 -3 -2 -1 0| 1 2 3 4 x . -1i| . . | . . -2i| . . . . . x A = 4 + 4i . | D B = -3 + 3i x . . .-3i| C = -2 - 3i C | D = 3 - 2i -4i| Goniometrický tvar komplexního čísla a = a1 + a2i - součtový (algebraický) tvar |a| = ?(a12 + a22) - velikost komplexího čísla a (absolutní hodnota) y | | A(a) | |a| | | |a2 | ? | ------------+-----------------------•--------- 0| x ? - argument komplexního čísla - je to orientovaný úhel s počátečním ramenem +x a koncovým ramenem |a| (orientovaný úhel je úhel, který má určeno počáteční a koncové rameno. Komplexní číslo a = a1 + a2i vyjádřené pomocí argumentu ? a absolutní hodnoty |a|: a1 cos ? = --- -" a1 = |a| . cos ? |a| a2 sin ? = --- -" a2 = |a| . sin ? |a| a = a1 + a2i a = |a| . cos ? + i|a| . sin ? a = |a| . (cos ? + i sin ?) - komplexní číslo v goniometrickém --------------------------------- tvaru ( |a| = 0 ) ...... a0 = cos ? + i sin ? - komplexní jednotka v gonio- metrickém tvaru Absolutní hodnota komplexního čísla Absolutní hodnota komplexního čísla je vzdálennost jeho obrazu od počátku. y | |a| ? R0+ | A(a) | |a| | |a| = ?(a12 + a22) | |a2 | | ---------+------------------•-------------- | a1 x Komplexní čísla opačná a = a1 + a2i k němu opačné : -a = -a1 - a2i Obrazy komplexních čísel opačných jsou souměrné podle počátku. y | | | A(a) | | -a1 | | ------•-------------------+-------------------•--------- | 0| a1 x | | | A'(a') | | Komplexní čísla sdružená _ a = a1 + a2i k němu sdružené : a = a1 - a2i Komplexní čísla sdružená se liší pouze znamením při imaginární složce. Obrazy komplexních čísel sdružených jsou souměrné podle reálné osy. y | | A(a) | | | | | |a2 | | ------------+--------------+---------------- 0| a1 | x | |-a2 | | | | _ | A(a) 2 6 . Ř e š e n í k v a d r i t i c k é r o v n i c e v o b o r u k o m p l e x n í c h č í s e l Kvadratická funkce Je to každá funkce y = ax2 + bx + c a ? R , b,c ? R f : {[x,y] ? RxR ; y = ax2 + bx + c } ax2 ..... kvadratický člen bx ...... lineární člen c ....... absolutní člen Kvadratická rovnice y = 0 : ax2 + bx + c = 0 Hledáme hodnoty proměnné x, pro které je hodnota funkce rovna nule. ax2 + bx + c = 0 - b ± ? D x12 = ----------- D = b2 - 4ac 2a D > 0 - dva kořeny reálné různé D = 0 - jeden kořen dvojnásobný D < 0 - rovnice nemá řešení v oboru R (dva kořeny komplexně sdružené) Řešení kvadratické rovnice D = - |D| ..... ?D = ?(-|D|) = ?(-1.|D|) = ?(-1) . ?|D| = i.?|D| - b ± -1 . |D| - b ± i |D| x12 = ---------------- = ------------- 2a 2a -b ?|D| x12 = -- ± i ---- 2a 2a Komplexní čísla sdružená _ a = a1 + a2i k němu sdružené : a = a1 - a2i Komplexní čísla sdružená se liší pouze znamením při imaginární složce. Obrazy komplexních čísel sdružených jsou souměrné podle reálné osy. y | | A(a) | | | | | |a2 | | ------------+--------------+---------------- 0| a1 | x | |-a2 | | | | _ 2 7 . L i n e á r n í r o v n i c e a n e r o v n i c e s a b s u l u t n í h o d n o t o u Definice absolutní hodnoty Absolutní hodnota reálného čísla a se značí |a| a definuje se takto : a ? 0 -" |a| = a a < 0 -" |a| = - a Rovnice nebo nerovnice s absolutní hodnotou se řeší nadvakrát : poprve pro případ, kdy je výraz v absolutní hodontě kladný nebo roven nule a podruhé pro případ, kdy je tento výraz záporný. Výsledný obor pravdivosti je pak dán sjednocením těchto dvou výsledků. Příklad : x ? R : |x - 2| < 5 I. x - 2 ? 0 ......... |x - 2| = x - 2 x ? 2 x - 2 < 5 x < 7 P1 = <2 ; 7> II. x - 2 < 0 ......... |x - 2| = - (x - 2) = 2 - x x < 2 2 - x < 5 - x < 3 x > -3 P2 = (-3 ; 2) P = P1 U P2 = <2 ; 7> U (-3 ; 2) = (-3 ; 7) Grafické znázornění : y1 = |x - 2| ; y2 = 5 y1 < y2 y | | | | y1 = |x - 2| | -----•-----------+---------------------------•----- | 5| | y2 = 5 | | | | | | | | | -----------•-----------+---------------------------•------------ x - 3 0| 7 | | A(a) 2 8 . B i n o m i c k á v ě t a Faktoriál čísla n Faktoriálem čísla n nazýváme funkci F na množině všech nezáporných ce- lých čísel, definovanou takto : F(0) = 1 F(n + 1) = (n + 1) F(n) (n ? N0) Místo F(n) píšeme n!. Platí 0! = 1. Pro n ? 1 je n! = 1 . 2 . ..... . (n - 1) . n Kombinační číslo - jeho výpočet • n • n . (n - 1) . (n - 2) . ....... . (n - k + 1) | | = --------------------------------------------- • k • k! Pascalův trojúhelník k určení kombinačních čísel n = 0 1 n = 1 1 1 n = 2 1 2 1 n = 3 1 3 3 1 n = 4 1 4 6 4 1 n = 5 1 5 10 10 5 1 n = 6 1 6 15 20 15 6 1 Pascalův trojúhelník lze použít k odvozování algebraických vzorců, typu (a ± b)n : (a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2 , odkud (a + b)2 = (a - b)2 + 4ab (a ± b)3 = a3 ± 3a2b + 3ab2 ± b3 (a ± b)4 = a4 ± 4a3b + 6a2b2 ± 4ab3 + b4 (a ± b)5 = a5 ± 5a4b + 10a3b2 ± 10a2b3 + 5ab4 ± b5 Binomická věta pro kladné celočíselné exponenty n : • n • • n • • n • • n • (a + b)n = | | an + | | an-1b + | | an-2b2 + | | an-3b3 + • 0 • • 1 • • 2 • • 3 • • n • • n • + ... + | | abn-1 + | | bn • n - 1 • • n • Pro (a - b)n platí předchozí vzorec s tím rozdílem, že se u jednotlivých členů střídají znaménka (počínaje kladným). Určení r-tého člene binomického rozvoje (a + b)n 0 < r < n r-tý člen : • n • | | = an-r+1 . br-1 • r - 1 • 3 9 . U R Č I T Ý I N T E G R Á L Určitým integrálem spojité funkce f(x) v mezích od a do b nazýváme přírůstek ?b | f(x) dx = F(b) - F(a) , ?a který také zapisujeme ve tvaru • •b | F(x)| • •a kde F je primitivní funkce k funkci f na intervalu (a,b); tento interval na- zýváme integračním oborem a číslo a nazýváme dolní (číslo b horní) integrač- ní mezí. Výpočet určitého integrálu se takto převádí na určení primitivní funkce, do níž se za proměnnou dosadí postupně horní a dolní mez integrálu a výsledné hodnoty se (v uvedeném pořadí) odečtou. Vlastnosti určitého integrálu ?a | f(x) dx = F(a) - F(a) = 0 ?a ?a ?b | f(x) dx = - | f(x) dx ?b ?a a < b < c : ?c ?b ?c | f(x) dx = | f(x) dx + | f(x) dx ?a ?a ?b Užití určitého integrálu VÝPOČET OBSAHU OBRAZCŮ . y| y = f(x) | | | . | Hledáme obsah obrazce | | omezeného grafem, osou x | . | a souřadnicemi y v bo- | _y | dech x1 a x2 (křivočarý | . . | lichoběžník). | | | Obsah S závisí na x (je | | | funkcí proměnné x). | | y _ S y+_y | | | | | | | --+-------•--------------------•-------- 0| x1 x _x x2 x | y . _x < _S < (y + _y)._x / : _x > 0 _S y < -- < y + _y _x Jestliže _x -> 0 ....... _y -> 0 _S y < lim -- < y _x->0 _x _S lim -- = y => S' = y (S'dx = dy) _x->0 _x ? S = | y dx = F(x) + C ? x = x1 : S(x1) = F(x1) + C = 0 => C = -F(x1) ?x2 x = x2 : S(x2) = F(x2) + C => S(x2) = F(x2) - F(x1) = | y dx ?x1 x1 ?x2 S = lim ? _S = | f(x) dx _x->0 x2 ?x1 Uršitý integrál je limita součtu nekonečně mnoha nekonečně malých elementů. Obsah vypočtený určitým integrálem vychází orientovaně : nad osou x kladný, pod osou x záporný. VÝPOĚT OBJEMU ROTAČNÍCH TĚLES Rotační těleso vznikne rotací grafu funkce y = f(x) kolem osy x (osa x je v tomto pčípadě osa otáčení). ? . [f(x)]2 . _x < _V < ? . [f(x + _x)]2 . _x / : _x _V ? . [f(x)]2 < -- < ? . [f(x + _x)]2 _x Jestliže _x -> 0 ...... _y -> 0 : _V _V ? . lim [f(x)]2 < lim -- < ? . lim [f(x)]2 => lim -- = ? . [f(x)]2 _x->0 _x->0 _x _x->0 _x->0 _x ?x2 V' = ? . [f(x)]2 => V = | ? . [f(x)]2 dx ?x1 ?b VÝPOČET DÉLKY OBLOUKU KŘIVKY : l = | ?(1 + [f(x)]2) dx ?a ?b VÝPOČET POVRCHU ROTAČNÍHO TĚLESA : A = 2? | f(x) . ?(1 + [f'(x)]2) dx ?a 4 0 . P A R A B O L A Obecná algebraická rovnice druhého stupně v x a y : F(x,y) = a11x2 + 2a12xy + a22y2 + 2a13x + 2a23y + a33 = 0 Koeficienty aik jsou reálná čísla. Touto rovnicí lze vyjádřit každou kuželo- sečku (tj. kružnici, elipsu, hyperbolu, parabolu, dvojici přímek a bod). Diskriminant kuželosečky : | a11 a12 a13 | | a21 a22 a23 | | a31 a32 a33 | Diskriminant kvadratických členů : ? = | a11 a12 | | a21 a22 | Je-li ? = 0 , je rovnicí určena parabola, při nenulové hodnotě ? je rovnicí určena hyperbola nebo elipsa. Definice paraboly : Parabolou nazýváme množinu právě těch bodů roviny, které mají stejné vzdálenosti od pevného bodu F této roviny (ohnisko) a od pevné přímky d této roviny (přímka řídící), přičemž přímka d neprochází bodem F. d| y| | | . |----|-------------------o | | . ' P | | ' | | . | p | p | - | .- | 2 | 2 -+----+----+-------------------------- D| V?0| F o?x | | ' | | | | ' | | . | | ' . | | ' . | | ' F - ohnisko paraboly d - řídící [určující] přímka [direktrix] o - osa paraboly V - vrchol paraboly |DF| = |p| - poloparametr paraboly 2|DF| - parametr paraboly PF - ohniskový průvodič PL - řídící průvodič Rovnice paraboly v základní poloze (osa paraboly v ose x a vrchol v počátku) : y2 = 2px přičemž pro p>0 je parabola otevřená doprava a pro p<0 je otevřená doleva. Řídící přímka má rovnici : p • p • x = - - , a ohnisko F = | - ; 0 | 2 • 2 • Vrcholová rovnice paraboly (osa paraboly rovnoběžná s osou x a vrchol V = [m,n] ) : (y - n)2 = 2p(x - m) přičemž pro p>0 je parabola otevřená doprava a pro p<0 je otevřená doleva. Řídící přímka má rovnici : p • p • x = m - - , a ohnisko F = | m + - ; n| 2 • 2 • Kvadratická funkce Obecný tvar funkce : y = a2x2 + a1x + a0 Popis grafu : parabola druhého stupně (kvadratická parabola), jejíž osa je rovnoběžná s osou y. Koeficient a2 má tento význam : a2 > 0 - parabola je otevřená nahoru a2 < 0 - parabola je otevřená dolů Vrchol paraboly : • -a1 (a1)2 • V = | --- ; - ----- + a0 | • 2a2 4a2 • Zvláštní případy : y = a2x2 - parabola s vrcholem v počátku souřadného systému y = x2 + a0 - normální parabola s vrcholem V = [0 , a0] y = (x + b)2 - normální parabola s vrcholem V = [-b , 0] 4 1 . K O M B I N A T O R I K A Kombinatorika patří do binární matematiky (jedná o konečných množinách a jejich podmnožinách). Základní pojmy [a ; b] - uspořádaná dvojice ( [a;b] není totožno s [b;a] ! ) [a1; a2; a3; ... ; ak] - uspořádaná k-tice V uspořádané k-tici záleží na poředí prvků (záměnou prvků dostaneme ji- nou k-tici). VARIACE Variace k-té třídy n prvků jsou uspořádané k-tice tvořené z množiny o n prv- cích, v nichž se každý prvek vyskytuje pouze jednou. Vk(n) - variace k-té třídy n prvků Počet variací k-té třídy n prvků : V1(n) = n V2(n) = n . (n - 1) V3(n) = n . (n - 1) . (n - 2) V4(n) = n . (n - 1) . (n - 2) . (n - 3) n! • n • Vk(n) = n . (n - 1) . (n - 2) . ........ . (n - k + 1) = -------- = | |k! (n - k)! • k • PERMUTACE Permutace jsou variace n-té třídy n prvků : Vn(n) = P(n) = n . (n - 1) . (n - 2) . ..... . 3 . 2 . 1 = n! •-----------------------------------------• n činitelů Permutace se liší pouze přestavěním prvků. Příklad : Kolik různých trikolor lze vytvořit ze tří barev ? t = V3(3) = P(3) = 3 . 2 . 1 = 3! = 6 KOMBINACE Kombinací k-té třídy n nazýváme každou podmnožinu o k prvcích z množiny o n prvcích. U kombinace bez opakování nepřihlížíme k uspořádání prvků, pro- tože každý prvek z daných n prvků se v jedné kombinaci může vyskytnout nej- výše jednou. Počet všech kombinací k-té třídy z n prvků bez opakování : (n ? k) • n • n(n - 1) ... (n - k + 1) n! Vk(n) Ck(n) = | | = ------------------------ = ---------- = ----- • k • 1.2 ... k k!(n - k)! P(k) Příklad : Kolik možností by bylo při tahu Sportky, kdyby se počet sportů rozšířil na 90 a počet tažených čísel zmenšil na pět? n = 90, k = 5 • 90 • C5(90) = | | = 43 949 268 • 5 • VARIACE S OPAKOVÁNÍM Variace k-té třídy n prvků s opakováním jsou uspořádané k-tice tvořené z množiny o n prvcích, v nichž se každý prvek může vyskytovat až k-krát. V'k(n) - variace k-té třídy n prvků s opakováním Počet variací k-té třídy n prvků s opakováním : V'k(n) = nk Příklad : Kolik možností je při vyplňování sázenky o 12 utkáních ? n = 3 (vítězství, prohra, nerozhodně) k = 12 V'12(3) = 312 = 531441 4 2 . U Ž I T Í I N T E G R Á L N Í H O P O Č T U Určitým integrálem spojité funkce f(x) v mezích od a do b nazýváme přírůstek ?b | f(x) dx = F(b) - F(a) , ?a který také zapisujeme ve tvaru • •b | F(x)| • •a kde F je primitivní funkce k funkci f na intervalu (a,b); tento interval na- zýváme integračním oborem a číslo a nazýváme dolní (číslo b horní) integrač- ní mezí. Výpočet určitého integrálu se takto převádí na určení primitivní funkce, do níž se za proměnnou dosadí postupně horní a dolní mez integrálu a výsledné hodnoty se (v uvedeném pořadí) odečtou. Vlastnosti určitého integrálu ?a | f(x) dx = F(a) - F(a) = 0 ?a ?a ?b | f(x) dx = - | f(x) dx ?b ?a a < b < c : ?c ?b ?c | f(x) dx = | f(x) dx + | f(x) dx ?a ?a ?b Základní integrační vzorce ? xn+1 | xn dx = ----- + C n <> -1 ? n + 1 ? | x-1 dx = ln |x| + C ? ? | sin x dx = - cos x + C ? ? | cos x dx = sin x + C ? ? 1 | ----- dx = tg x + C ? cos2x ? 1 | ----- dx = -cotg x + C ? sin2x ? | ex dx = ex + C ? ? ax | ax dx = ---- + C ? ln a Užití integrálního počtu v technice (příklady) Příklad 1 : Určete práci, vykonanou expanzí plynu z objemu V1 na objem V2, působí-li na plošnou jednotku pístu o ploče S tlak p (jednotkový tlak). | | | | | | | celkový tlak na píst : F = S . p |- - - - + - - - - • |- - - - + - - - - • • dA = F . dx = S . p . dx | | | | | | | | S . dx = dV => dA = p . dV | | | |dx | | | | •--------•---------• | •------------------• • ?V2 | S /| | A = | p . dV | V1 | p | ?V1 | | | _________________ •------------------• ------------------- Příklad 2 : Určete tuto práci, jestliže závislost tlaku na objemu je izotermická : k p . V = konst , p = --- V v2 v2 ? ? k • •v2 V2 = | p dV = | - dV = k . | ln|V| | = k . ln -- ? ? V • •v1 V1 v1 v1 Příklad 3 : určete tlak na hráz tvaru rovnoramenného lichoběžníka o délce jedné základny 40 m (v úrovni hladiny), délce druhé základny 15 m (u dna) a výšce ponořené části 8 m. 12,5 |<-->| | | 40 m --------------------------------------- - - - | ? / | | / | | / | 8 m | / | / | --------------------------- - - - - - 15 m dF = ró.z.h.dx ( z = g(h) ) 8 h 8x tg ? = ---- = --- => h = ---- 12,5 x 12,5 40 - z 8 . ------ 40 - z 2 4 . (40 - z) x = ------ => h = ---------- = ------------ 2 12,5 12,5 4 . (40 - z) ?8 Fh = ró . ------------ . | h dh 12,5 ?0 4 3 . H Y P E R B O L A Obecná algebraická rovnice druhého stupně v x a y : F(x,y) = a11x2 + 2a12xy + a22y2 + 2a13x + 2a23y + a33 = 0 Koeficienty aik jsou reálná čísla. Touto rovnicí lze vyjádřit každou kuželo- sečku (tj. kružnici, elipsu, hyperbolu, parabolu, dvojici přímek a bod). Diskriminant kuželosečky : | a11 a12 a13 | | a21 a22 a23 | | a31 a32 a33 | Diskriminant kvadratických členů : ? = | a11 a12 | | a21 a22 | Je-li ? = 0 , je rovnicí určena parabola, při nenulové hodnotě ? je rovnicí určena hyperbola nebo elipsa. Definice hyperboly : Hyperbolou nazýváme množinu právě těch bodů M v rovině, které mají od dvou pevných bodů E, F (ohniska) konstantní rozdíl vzdáleností |ME| - |MF| = 2a, pričemž je 0 < 2a < 2e = |EF|. y| | | M | C| + | A | B --------------•-------+-------+---------------- E| O?S| b F x | |a | + | D| | e | |<----->| | E,F - ohniska A,B - hlavní vrcholy C,D - vedlejší vrcholy (imaginární) S - střed hyperboly |EM| - |FM| = 2a - konstantní rozdíl EM, FM - průvodiče |SA| = |SB| = a - délka reálné poloosy AS, popř. SB 2a - délka reálné osy AB |SC| = |SD| = b - délka imagiární poloosy SC, popř. SD 2b - délka imaginární osy CD |EF| = 2e e = ?(a2 + b2) - déková výstřednost (excentricita) as - asymptoty (tečny v nekonečnu) Rovnice hyperboly v základní poloze S?O , AB ? x , CD ? y x2 y2 -- - -- = 1 a2 b2 E = [-e ; 0] F = [e ; 0] M = [x ; y] Středová rovnice hyperboly S = [m ; n] , AB || x , CD || y Použijeme transformaci souřadnic : (x-m)2 (y-n)2 ------ - ------ = 1 a2 b2 Rovnice hyperboly, která má asymptoty totožné s osami souřadného systému : a2 xy = -- 2 Jestliže se velikost poloosy a rovná velikosti poloosy b, jedná se o rovnoosou hyperbolu. 4 4 . K O M B I N A C E Faktoriál čísla n Faktoriálem čísla n nazýváme funkci F na množině všech nezáporných ce- lých čísel, definovanou takto : F(0) = 1 F(n + 1) = (n + 1) F(n) (n ? N0) Místo F(n) píšeme n!. Platí 0! = 1. Pro n ? 1 je n! = 1 . 2 . ..... . (n - 1) . n Kombinace bez opakování Definice : Kombinací k-té třídy z n bez opakování prvků nazýváme každou podmnožinu o k prvcích z množiny o n prvcích. U kombinace bez opakování nepřihlížíme k uspořádání prvků, protože každý prvek z daných n prvků se v jedné kombina- ci může vyskytnout nejvýše jednou. Počet všech kombinací k-té třídy z n prvků bez opakování : (n ? k) • n • n(n - 1) ... (n - k + 1) n! Vk(n) Ck(n) = | | = ------------------------ = ---------- = ----- • k • 1.2 ... k k!(n - k)! P(k) Příklad : Kolik možností by bylo při tahu Sportky, kdyby se počet sportů rozšířil na 90 a počet tažených čísel zmenšil na pět? n = 90, k = 5 • 90 • C5(90) = | | = 43 949 268 • 5 • Kombinace s opakováním Definice : Kombinací k-té třídy z n-prvkové množiny M s opakováním nazýváme každou skupinu o k prvcích vytvořenou z množiny M tak, že v této skupině se každý prvek může vyskytovat až k-krát. Počet všech kombinací k-té třídy z n prvků s opakováním : • n + k - 1 • (n + k - 1)! Ck(n) = | | = ------------ • k • k!(n -1)! Příklad : Kolik kombiunací třetí třídy s opakováním lze vytvořit z pěti číslic 2, 3, 4, 5, 6 ? • 5 + 3 - 1 • • 7 • 7.6.5 C3(5) = | | = | | = ----- = 35 • 3 • • 3 • 1.2.3 Pascalův trojúhelník k určení kombinačních čísel n = 0 1 n = 1 1 1 n = 2 1 2 1 n = 3 1 3 3 1 n = 4 1 4 6 4 1 n = 5 1 5 10 10 5 1 n = 6 1 6 15 20 15 6 1 První a poslední číslo v kaýdém řádku schématu je vždy rovno 1. Každé číslo uvnitř schématu se rovná součtu dvou nejbližších čísel z předchozího • n • řádku. Kombinační číslo | | je v tomto schématu v (n + 1)-ním řádku na • k • (k + 1)-ním místě. Užití v binomické větě Pascalův trpjúhelník lze použít k odvozování algebraických vzorců, typu (a ± b)n : (a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2 , odkud (a + b)2 = (a - b)2 + 4ab (a ± b)3 = a3 ± 3a2b + 3ab2 ± b3 (a ± b)4 = a4 ± 4a3b + 6a2b2 ± 4ab3 + b4 (a ± b)5 = a5 ± 5a4b + 10a3b2 ± 10a2b3 + 5ab4 ± b5 Binomická věta pro kladné celočíselné exponenty n : • n • • n • • n • • n • (a + b)n = | | an + | | an-1b + | | an-2b2 + | | an-3b3 + • 0 • • 1 • • 2 • • 3 • • n • • n • + ... + | | abn-1 + | | bn • n - 1 • • n • Pro (a - b)n platí předchozí vzorec s tím rozdílem, že se u jednotlivých členů střídají znaménka (počínaje kladným). 4 5 . E L I P S A Obecná algebraická rovnice druhého stupně v x a y : F(x,y) = a11x2 + 2a12xy + a22y2 + 2a13x + 2a23y + a33 = 0 Koeficienty aik jsou reálná čísla. Touto rovnicí lze vyjádřit každou kuželo- sečku (tj. kružnici, elipsu, hyperbolu, parabolu, dvojici přímek a bod). Diskriminant kuželosečky : | a11 a12 a13 | | a21 a22 a23 | | a31 a32 a33 | Diskriminant kvadratických členů : ? = | a11 a12 | | a21 a22 | Je-li ? = 0 , je rovnicí určena parabola, při nenulové hodnotě ? je rovnicí určena hyperbola nebo elipsa. Definice elipsy : Elipsou nazýváme množinu právě těch bodů M v rovině, které mají od dvou pevných bodů E, F (ohniska) konstantní součet vzdáleností |ME| + |MF| = 2a, pričemž je 2a > |EF| = 2e > 0. Z podmínky |ME| + |MF| = 2a plyne vláknová (nitková) konstrukce elipsy. y| C| | M[x,y] | | | | ---•------+----------------+----------------+------------ A| E S?O| e F B x | | | a |b |<--------------------->| | D| | E,F - ohniska A,B - hlavní vrholy C,D - vedlejší vrcholy S - střed elipsy |ME| + |MF| = 2a - konstantní součet ME, MF - průvodiče |AB| = 2a - délka hlavní osy a - délka hlavní poloosy |CD| = 2b - délka vedlejší osy b - délka vedlejší poloosy (b < a) |EF| = 2e e = ?(a2 - b2) - délková výstřednost (excentricita) Rovnice elipsy v základní poloze S?O , AB ? x , CD ? y x2 y2 -- + -- = 1 a2 b2 E = [-e ; 0] F = [e ; 0] M = [x ; y] Středová rovnice elipsy S = [m ; n] , AB || x , CD || y Použijeme transformaci souřadnic : (x-m)2 (y-n)2 ------ + ------ = 1 a2 b2 Jestliže se velikost poloosy a rovná velikosti poloosy b, dostaneme kružnici (kružnice je zvláštním případem elipsy). Důkaz : x2 y2 x2 + y2 -- + -- = 1 => ------- = 1 / .a2 a2 a2 a2 x2 + y2 = a2 - středová rovnice kružnice ------------------ 4 6 . R O V N I C E S N E Z N Á M O U V O D M O C N Ě N C I Nezáporné číslo b, pro něž platí bn = a , se nazývá n-tá odmocnina z čísla a, a značí se n?a (místo 2?a píšeme ?a). Číslo a se nazývá základ odmocniny (odmocněnec) a číslo n se nazývá odmocnitel. ( a,b ? R0+, n ? N ) Pro odmocniny platí ( a,b ? R0+, m,n ? N, k ? Z ) : Existuje právě jedno číslo b, pro něž platí bn = a. Dále n?0 = 0 n?1 = 1 1?a = a n?(ab) = n?a . n?b • a • n?a n?| - | = --- (b <> 0) • b • n?b (n?a)k = n?ak = ak/m (a <> 0) n?a . m?a = nm?an+m ?a + ?b = ?[a + b + 2?(ab)] ?a - ?b = ?[a + b - 2?(ab)] (a ? b) • a + ?(a2 - b) • • a - ?(a2 - b) • ?(a ± ?b) = ?| ------------- | ± ?| ------------- | (a2 ? b) • 2 • • 2 • Protože umocnění není ekvivalentní úprava rovnive, je u těchto rovnic zkouška správnosti součástí řešení. 4 7 . V Z Á J E M N Á P O L O H A P Ř Í M K Y A K U Ž E L O S E Č K Y 4 8 . P R A V D Ě P O D O B N O S T Náhodný jev A je takový jev, který může nastat za určitých podmínek, ale jeho výskyt není jistý. Pravděpodobnost, se kterou nastane jev A : p(A) 1) Pravděpodobnost nemožného jevu : p(A) = 0 2) Pravděpodobnost jistého jevu : p(A) = 1 Definice : Každému jevu A, tj. každému možnému výsledku pokusu, je přiřazeno číslo p = p(A), zvané pravděpodobnost jevu A, pro něž platí 0 ? p(A) ? 1 m Pravděpodobnost : p(A) = --- n m - počet případů, v nichž jev A natane (počet příznivých jevů A) n - počet všech možných jevů 4 9 . D E R I V A C E F U N K C E Derivace funkce Definice : Derivace funkce je limita podílu přírůstku funkce ku přírůstku proměnné _x, když _x->0. Geometricky představuje derivace funkce y = f(x) směrnici tečny t grafu funkce y = f(x) v daném bodu x. f( x + _x ) - f(x) y' = lim ------------------ _x->0 _x y| | y = f(x) | | | B s | | | t | A ? | _y | •--------------• | | | | |f(x) |f(x+_x) | | | | | | ----+----------•--------------•------------------ 0| x _x x+_x x _y | ks = tg ? = -- _x _y = f(x + _x) - f(x) _x . . . přírůstek proměnné x _y . . . přírůstek funkce ks . . . směrnice sečny AB Základní vzorce 1) y = c .............. y' = 0 2) y = xn ............. y' = n . xn-1 3) y = c . f(x) ....... y' = c . f'(x) 4) y = f(x) ± g(x) .... y' = f'(x) ± g'(x) 5) y = g(x) . g(x) .... y' = f'(x) . g(x) + f(x) . g'(x) 1 - g'(x) 6) y = ---- ........... y' = ------- g(x) [g(x)]2 f(x) f'(x) . g(x) - f(x) . g'(x) 7) y = ---- ........... y' = --------------------------- g(x) [g(x)]2 8) y = ax ............. y' = ax . ln a y = ex ............. y' = ex y = e-x ............ y' = - ex 9) y = sin x .......... y' = cos x y = cos x .......... y' = - sin x 1 y = tg x ........... y' = ----- cos2x 1 y = cotg x ......... y' = - ----- sin2x 1 10) y = ln x .......... y' = - x 1 11) y = loga x ........ y' = - . ln a x 1 1 y = log x ......... y' = - . ln 10 = - . log e x x Derivace funkce složené Složená funkce - y = f[g(x)] Derivace funkce složené je rovna součinu derivace funkce y podle pro- měnné z a derivace funkce z podle proměnné x (součin derivace vnější funkce a derivace vnitřní funkce). y = f[g(x)] g(x) = z : y = f(z) --•- --•- | •-- vnější funkce •--------------------- vnitřní funkce Geometrický význam derivace Pomocí derivace lze analyzovat danou funkci (resp. její graf). Lze určit interval, v němž je funkce vypuklá (konvexní), vydutá (konkávní), rostoucí, klesající, lze určit minimum a maximum (tzv. extrémy) a inflexní bod (pokud existují). Má-li funkce y = f(x) v bodě x0 kladnou derivaci, je v bodě x0 rostoucí. Má-li funkce y = f(x) v bodě x0 zápornou derivaci, je v bodě x0 klesající. Má-li funkce y = f(x) v bodě x0 nulovou hodnotu, má v bodě x0 extrém. Vypuklost (konvexnost) y = f(x) Pro hodnoty, v nichž je graf vypuklý : | 1) ? přechází z hodnot tupého úhlu do hodnot | ostrého úhlu | 2) tg ? je funkce rostoucí : | tg ? = k = f'(x) ..... f''(x) > 0 ----+----------------------- | V bodech, v nichž je graf funkce vypuklý má druhá derivace hodnotu kladnou. V bodu, v němž má graf vypuklé funkce minimum má druhá derivace hodnotu kladnou. Vydutost (konkávnost) y = f(x) Pro hodnoty, v nichž je graf vydutý : | 1) ? se zmenšuje k nule a dále do záporného | úhlu | 2) tg ? je funkce klesající : | tg ? = k = f'(x) ..... f''(x) < 0 ----+----------------------- | V bodech, v nichž je graf funkce vydutý má druhá derivace hodnotu zápornou. V bodu, v němž má graf vyduté funkce minimum má druhá derivace hodnotu zá- pornou. Inflexní bod y = f(x) | | | | | | | | | --------------+-------------------------------------------- | | V bodu I (inflexní bod) přechází graf z jedné strany tečny ti (inflexní teč- na) na druhou stranu tečny ti. V bodu inflexním má druhá derivace nulovou hodnotu ( f''(x) = 0 ). 5 0 . T R O J Ú H E L N Í K 5 1 . V Z Á J E M N Á P O L O H A P Ř Í M K Y A R O V I N Y Parametrické rovnice přímky -> Přímka je dána bodem A = [x1;y1;z1] a směrovým vektorem s (s1;s2;s3): x = x1 + ts1 y = y1 + ts2 t - parametr z = z1 + ts3 Obecná rovnice přímky v prostoru neexistuje (rovnicí Ax + By + Cz + d = 0 je určena rovina). Obecná rovnice roviny - Ax + By + Cz + d = 0 - normálový vektor - n = (A;B;C) Odchylka dvou různoběžných vektorů Ze vzorců pro skalární součin vektorů odvodíme vztah u1v1 + u2v2 cov ? = ----------- , |u|.|v| kde ? je úhel, který vektory svírají. Vzájemnou polohu přímky a roviny zjistíme z řešení soustavy jejich rovnic. Mohou nastat tyto tři případy : 1) Nekonečně mnoho řešení - přímka leží v rovině 2) Jedno řešení - přímka protíná rovinu v průsečíku P, jehož souřadnice jsou řešením soustavy. 3) Soustava nemá řešení - přímka je rovnoběžná s rovinou; její vzdále- nost od roviny se vypočítá podle vzorce |ax0 + by0 + cz0 + d| v = --------------------- ?(a2 + b2 + c2) Odchylka přímky od roviny Odchylka ? (0o ? ? ? 90o) přímky p se směrovým vektorem u = (u1; u2; u3) a roviny ? s normálovým vektorem v = (v1; v2; v3) se vypočítá podle vzorce |u1v1 + u2v2 + u3v3| sin ? = --------------------------------------- ?(u12 + u22 + u32) . ?(v12 + v22 + v32) 5 2 . V Z Á J E M N Á P O L O H A D V O U P Ř Í M E K Přímka je průsečnicí dvou rovin. Značí se malými latinskými písmeny (a, b, p, g, ...). Jsou-li A, B dva různé body přímky, pak se tato přímka značí " přímka AB ". Parametrické rovnice přímky -> Přímka je dána bodem A = [x1;y1] a směrovým vektorem s (s1;s2): -> p = ( A ; s ) Bod X má souřadnice [x;y]. Rovnice přímky je vztah, který platí pro souřad- nice každého bodu X přímky p : x = x1 + ts1 t - parametr y = y1 + ts2 Parametrické rovnice přímky v prostoru x = x1 + ts1 y = y1 + ts2 z = z1 + ts3 Obecná rovnice přímky A x + B y + C = 0 - Přímka je dána lineární rovnicí o dvou proměnných Obecná rovnice přímky v prostoru neexistuje (rovnicí Ax + By + Cz + d = 0 je určena rovina). Dvě přímky vůči sobě mohou být - mimoběžné - různoběžné - rovnoběžné - rovnoběžné splývající (totožné) Vzálemnou polohu dvou přímek určíme z výsledku řešení soustavy jejich obecných rovnic (pokud jsou zadány jinak, převedeme jejich rovice na obecný tvar). Mohou nastat tři případy: 1. nekonečně mnoho řešení - přímnky jsou rovnoběžné splývající (existuje ne- konečně mnoho bodů, které leží na obou přímkách) 2. jedno řešení - přímky jsou různoběžné (existuje právě jeden bod, který leží na obou přímkách - průsečík P. Jeho souřadnice jsou řešením soustavy rovnic přímek) 3. soustava nemá řešení - přímky jsou rovnoběžné (v rovině) nebo mimoběžné (v prostoru) Úhel dvou přímek Úhel dvou přímek v rovině je ostrý úhel, který přímky svírají. Určíme jej jako úhel normálových nebo směrových vektorů. Jestliže r je směrový vek- tor přímky k a s je směrový vektor přímky l a přímky k a l jsou různoběžky, pak úhel ?, který svírají, vypočteme ze vzorce r1s1 + r2s2 cos ? = ----------- |r|.|s| Vzdálenost rovnoběžek Vzdálenost v dvou rovnoběžných přímek p, q je rovna vzdálenosti libovolného bodu A jedné přímky od druhé přímky, a vypočítá se podle vzorce: |ax0 + by0 + c| v = --------------- ' ?(a2 + b2) kde M = [x0,y0] ? p , q : ax + by + c = 0 5 3 . O B J E M A P O V R C H T Ě L E S 5 4 . L O G A R I T M I C K Á R O V N I C E Definice logaritmu : Logaritmus kladného čísla x je mocnitel y, na který musíme umocnit zvo- lený základ a, abychom dostali dané kladné číslo x. Logaritmickou rovnicí nazýváme takovou rovnici, kde se proměnná x vys- kytuje v logaritmickém výrazu (je logaritmována). Obecně lze logaritmické rovnice řešit jen graficky nebo přibližnými numerickými metodami. Jen v něk- terých jednoduchých zvláštních případech lze tyto rovnice převést vhodnou substitucí na algebraické rovnice. Základní logaritmická rovnice : logax = b (a>0 , a<>1) Platí-li b = logac, pak logax = logac -" x = c, jinak je x = ab. Vyskytuje-li se proměnná x nebo mnohočlen P jen jako argument logarit- mu, lze logaritmickou rovnici převést na algebraickou v těchto případech : a) Rovnice obsahuje kořeny téhož argumentu. Takové rovnice se řeší tak, že logaritmus tohoto argumentu považujeme za novou neznámou y, najdeme koře- ny nové rovnice a umocněním základu logaritmu těmito kopřeny dostaneme kořeny dané rovnice. b) Logaritmická rovnice tvaru c1 loga P1(x) + c2 loga P2(x) + ... + cn loga Pn(x) = 0, kde P1, P2, ..., Pn jsou mnohočleny v proměnné x, se na algebraickou rovnici převede odlogaritmováním. V tomto případě je třeba se vždy přesvědčit, zda pro nalezené kořeny má původní rovnice smysl a zda jí tyto kořeny vyhovují. Logariotmická funkce Obecný tvar funkce : y = logax (x > 0 , a > 0 , a <> 1) Graf logaritmické funkce : (vždy prochází bodem [1;0], protože loga 1 = 0) y | 4• | 3| | 2• | 1• | --+----•----•----•----•----•----•----•----•----•----- 0| 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x -1• | -2• | -3• | -4• | Funkce logaritmická a exponenciální jsou vzájemně inverzní. 5 5 . G E O M E T R I C K Á P O S L O U P N O S T - U Ž I T Í 5 6 . V Z D Á L E N N O S T B O D U O D P Ř Í M K Y , O D R O V I N Y Vzdálenost bodu od přímky Je dána přímka p : ax + by + c = 0 a bod M = [x0;y0], který na ní neleží. 5 7 . O B J E M A P O V R C H K O U L E 5 8 . M O C N I N Y S R A C I O N Á L N Í M M O C N I T E T L E M 5 9 . S H O D N Á Z O B R A Z E N Í Základní pojmy Uspořádaná dvojice - taková dvojice prvků, kde záleží na pořadí prvků Kartézský součin množin A,B - množina všech uspořádaných dvojic [x,y], kde x je prvkem množiny A, y je prvkem množiny B Zapisujeme : A x B Zobrazení : Zobrazní z množiny A do množiny B je předpis, který každému prvku x z množiny A přiřazuje právě jeden (ne více !) prvek y z množiny B. Zobrazení prosté - takové zobrazení, kde každý obraz má nejvýše jeden vzor Vzájemně jednoznačné zobrazení - prosté zobraení množiny A na množinu B. (každému vzoru jeden odraz, každému obra- zu jeden vzor). A i B mají stejný počet prvků. Shodné zobrazení Shodné zobrazení (shodnost) je takové zobrazení, které každým dvěma prvkům A, B přiřazuje obrazy A',B' tak, že platí |AB| = |A'B'|. Samodružné body - takové body, které jsou daným zobrazením přiřazeny samy sobě (A ? A'). Shodná zobrazení v rovině : - osová souměrnost - středová souměrnost - otáčení - posunutí - totožnost 1. Osová souměrnost Je dána osou souměrnost ? | | Předpis : | •----------------• | | |A'P| = |AP| | ----------------------+---------------------- | A'A • ? | | •----------------• | | | Samodružné body : každý bod osy souměrnosti Samodružné přímky : osa souměrnosti a každá přímka k ní kolmá Sobě odpovídající si přímky v osové souměrnosti (vzor a obraz) se protínají na ose souměrnosti. 2. Středová souměrnost Je dána středem souměrnosti S Předpis : •------------------------• | S,A,A' - leží v přímce | | |A'S| = |AS| | •------------------------• Samodružné body : pouze střed souměrnoti Samodružné přímky : každá přímka procházející středem souměrnosti 3. Otáčení (rotace) Je dáno středem otáčení S a úhlem otáčení ? Předpis : •--------------• | SA' = SA | -------------------- | ASA' = ? | •--------------• 4. Posunutí (translace) -> Je dáno vektorem v Předpis : •-----------------• | |AA'| = | v | | | AA' || v | •-----------------• Samodružné body : je-li vektor posunutí nenulový, neexistují; je-li vektor posunutí nulový, je samodružný každý bod Samodružné přímky : je-li vektor posunutí nenulový, je samodružná každá přímka s ním rovnoběžná; je-li vektor posunutí nulový, je samodružná každá přímka 5. Totožnost (identita) Pro obraz X' každého bodu X platí : X' ? X. Samodružné body : každý bod je samodružný Samodružné přímky : každá přímka je samodružná 6 0 . V A R I A C E , P E R M U T A C E VARIACE Variace k-té třídy n prvků jsou uspořádané k-tice tvořené z množiny o n prv- cích, v nichž se každý prvek vyskytuje pouze jednou. Vk(n) - variace k-té třídy n prvků Počet variací k-té třídy n prvků : V1(n) = n V2(n) = n . (n - 1) V3(n) = n . (n - 1) . (n - 2) V4(n) = n . (n - 1) . (n - 2) . (n - 3) n! • n • Vk(n) = n . (n - 1) . (n - 2) . ........ . (n - k + 1) = -------- = | |k! (n - k)! • k • PERMUTACE Permutace jsou variace n-té třídy n prvků : Vn(n) = P(n) = n . (n - 1) . (n - 2) . ..... . 3 . 2 . 1 = n! •-----------------------------------------• n činitelů Permutace se liší pouze přestavěním prvků. Příklad : Kolik různých trikolor lze vytvořit ze tří barev ? t = V3(3) = P(3) = 3 . 2 . 1 = 3! = 6 Faktoriál čísla n Faktoriálem čísla n nazýváme funkci F na množině všech nezáporných celých čísel, definovanou takto : F(0) = 1 F(n + 1) = (n + 1) F(n) (n ? N0) Místo F(n) píšeme n!. Platí 0! = 1. Pro n ? 1 je n! = 1 . 2 . ..... . (n - 1) . n VARIACE S OPAKOVÁNÍM Variace k-té třídy n prvků s opakováním jsou uspořádané k-tice tvořené z množiny o n prvcích, v nichž se každý prvek může vyskytovat až k-krát. V'k(n) - variace k-té třídy n prvků s opakováním Počet variací k-té třídy n prvků s opakováním : V'k(n) = nk Příklad : Kolik možností je při vyplňování sázenky o 12 utkáních ? n = 3 (vítězství, prohra, nerozhodně) k = 12 V'12(3) = 312 = 531441 | |