Středoškolská matematika

Autor: Martin Matějka Škola: SSOŠ Kunovice
Strany: 64 A4 Obrázky: ne
Dokument stažen: 8983x Náhled zobrazen: 64094x
   
Stáhnout zazipovaný dokument » Zpět na seznam »
  
Textový náhled:

1 . F U N K C E

Definice :
Množina M je podmnožinou množiny R. Funkce f je množina uspořádaných
dvojic [x;y], pro které platí : každému x ? M je přiřazeno právě jedno
y ? R (ne více !).
Proměnná x se nazývá nezávisle proměnná [argument] a proměnná y se na-
zývá závisle proměnná. Číslo y ? R se pro určité x ? R (pro něž platí
[x;y] ? f) nazývá funkční hodnota funkce f a označuje se f(x).
Jinak : Funkce je každé zobrazení v množině R.


Graf funkce y = f(x) je množina všech bodů o souřadnicích [x;f(x)], kde
x ? D(f).

Definiční obor funkce f je množina D, která má tu vlastnost, že ke kaž-
dému číslu x ? D je přiřazeno právě jedno takové číslo y, aby platilo
[x;y] ? f. Definiční obor funkce značíme D(f).

Obor hodnot funkce f je množina H, která má tu vlastnost, že ke každému
číslu y ? H existuje takové číslo x ? D, aby platilo [x;y] ? f. Obor hodnot
funkce značíme H(f).

Funkce rostoucí

Funkce f(x) je rostoucí v intervalu , jestliže pro každé dvě hodnoty
x1 < x2 z intervalu platí, že f(x1) < f(x2).


y|
| .
| . |
| |
f(x) . | | |
. | | |
. | f(x2)| | |
| | | |
. |f(x1) | | |
| | | | |
| | | | |
-------+--------+-----------+-----+------------+-------
a x1 x2 0| b x
Funkce klesající

Funkce f(x) je klesající v intervalu , jestliže pro každé dvě hodnoty
x1 < x2 z intervalu platí, že f(x1) > f(x2).

. y|
| . |
| | . |
| | |
| | | | .
| | | | .
| | f(x2)| | .
| | | |
| |f(x1) | | | .
| | | | |
| | | | |
-------+--------+-----------+-----+------------+-------
a x1 x2 0| b x

Sudá funkce

Funkce y = f(x) se nazývá sudá, právě když definiční obor D funkce f je
souměrný podle počátku souřadného systému (tj. s každým bodem x ? D patří do
oboru D také bod -x), a pro každé x ? D platí f(-x) = f(x). Graf sudé funkce
je souměrný podle osy y.


Lichá funkce

Funkce y = f(x) se nazývá lichá, právě když definiční obor D funkce
f je souměrný podle počátku souřadného systému (tj. s každým bodem x ? D
patří do oboru D také bod -x), a pro každé x ? D platí f(-x) = -f(x). Graf
liché funkce je souměrný podle počátku souřadného systému.


3 . E X P O N E N C I Á L N Í F U N K C E



Exponenciální rovnicí nazýváme takovou rovnici, kde se proměnná x vys-
kytuje v exponentu. Obecně lze exponenciální rovnice řešit jen graficky nebo
přibližnými numerickými metodami. Jen v některých jednoduchých zvláštních
případech lze tyto rovnice převést na algebraické rovnice.


Exponenciální funkce

Obecný tvar funkce : y = ax (a > 0)

Graf exponenciální funkce : (vždy prochází bodem [0;1], protože a0 = 1)

y
|
9•
|
8•
|
7•
|
6•
|
5•
|
4•
|
3•
|
2•
| y=1x
--------------------+------------------------
1|
--•---•---•---•---•---+---•---•---•---•---•---•---
-5 -4 -3 -2 -1 0| 1 2 3 4 5 6 x


Definiční obor : D(f) = R

Obor hodnot : H(f) = R+{0} (všechna kladná reálná čísla)

Řešení exponenciální rovnice

ax = b (a>0 , a<>1 , b>0)

lze řešit :

a) bez logaritmování, jestliže lze členy rovnice vyjádřit jako mocniny
téhož základu :
b
cax = cb -" x = -
a

b) logaritmováním :
lg b
x = logab, popř. x lg a = lg b -" x = ----
lg a


Příklad 1 : Příklad 2 :

3?ax+2 = ?ax-5 2x = 7

a(x+2)/3 = a(x-5)/2 x log 2 = log 7

x + 2 x - 5 log 7
----- = ----- x = -----
3 2 log 2

2x + 4 = 3x - 15

x = 19

3 . G o n i o m e t r i c k é f u n k c e

Goniometrické funkce je společenský název pro funkce sinus (symbol sin),
kosinus (symbol cos), tangens (symbol tg) a kotangens (symbol cotg).

Jednotková kružnice

y ?/2
II. 1 | I.
| 0 < ? < ?/2
|
| ?/2 < ? < ?
M | N
| | |
|yM |? ? |yM
? | | |
------•--------------+--------------•---------
-1 xM 0| xN 1 x
|
|
|
|
|
|
III. -1 | IV.
3?/2
M [xM,yM]


•--------------------------------• •-------•-------•-------•-------•-------•
| sin ? = yM | | | I. | II. | III .| IV. |
| cos ? = xM | •-------+-------+-------+-------+-------•
| | | sin | + | + | - | - |
| sin ? | •-------+-------+-------+-------+-------•
| tg ? = ----- , cos ? <> 0 | | cos | + | - | - | + |
| cos ? | •-------+-------+-------+-------+-------•
| | | tg | + | - | + | - |
| cos ? | •-------+-------+-------+-------+-------•
| cotg ? = ----- , sin ? <> 0 | | cotg | + | - | + | - |
| sin ? | •-------•-------•-------•-------•-------•
•--------------------------------•
Grafy funkcí

| | |
|------------------------------ | |
| | |
•------------------------------ | |
| | |
|------------------------------ | |
| | |
| |
SINUS --------+-------- --------+--------
| |
| |
| | |
|------------------------------ | |
| | |
•------------------------------ | |
| | |
|------------------------------ | |
|

KOSINUS TANGENS KOTANGENS
•---------•--------•--------•--------•--------•--------•
| ? | 0o | 30o | 45o | 60o | 90o |
•---------+--------+--------+--------+--------+--------•
| sin ? | 0 | 1/2 | ?2/2 | ?3/2 | 1 |
•---------+--------+--------+--------+--------+--------•
| cos ? | 1 | ?3/2 | ?2/2 | 1/2 | 0 |
•---------+--------+--------+--------+--------+--------•
| tg ? | 0 | ?3/3 | 1 | ?3 | - |
•---------+--------+--------+--------+--------+--------•
| cotg ? | - | ?3 | 1 | ?3/3 | 0 |
•---------•--------•--------•--------•--------•--------•
•-------•-----•-----•-----•-----•-----•
| | 0 | ?/2 | ? | 3?/2| 2? |
•-------+-----+-----+-----+-----+-----•
| sin | 0 | 1 | 0 | -1 | 0 |
•-------+-----+-----+-----+-----+-----•
| cos | 1 | 0 | -1 | 0 | 1 |
•-------+-----+-----+-----+-----+-----•
| tg | 0 | - | 0 | - | 0 |
•-------+-----+-----+-----+-----+-----•
| cotg | - | 0 | - | 0 | - |
•-------•-----•-----•-----•-----•-----•




Periodičnost goniometrických funkcí

sin (? + k.2?) = sin ? -•
|
cos (? + k.2?) = cos ? |
•- k ? Z
tg (? + k.?) = tg ? |
|
cotg (? + k.?) = cotg ? -•

Hodhoty sinu a kosinu se opakují po 2?, hodnoty tangenty a kotangenty po ?.


Vztahy mezi goniometrickými funkcemi stejného argumentu

sin2? + cos2? = 1 tg ? . cotg ? = 1

sin ? 1
tg ? = ----- 1 + tg2? = -----
cos ? cos2?

cos ? 1
cotg ? = ----- 1 + cotg2? = -----
sin ? sin2?


Vztahy mezi goniometrickými funkcemi doplňkových úhlů

sin ? = cos (90o - ?)
cos ? = sin (90o - ?)
tg ? = cotg (90o - ?)
cotg ? = tg (90o - ?)


Základní goniometrické vzorce

Součtové věty:
sin (? ± ?) = sin ? cos ? ± cos ? sin ?

cos (? ± ?) = cos ? cos ? ± sin ? sin ?

tg ? ± tg ?
tg (? ± ?) = ---------------
1 + tg ? tg ?
Goniometrické funkce násobného úhlu:

sin 2? = 2 sin ? cos ?

cos 2? = cos2? - sin2?

2 . tg ?
tg 2? = --------
1 - tg2?

Goniometrické funkce polovičního úhlu:

? • 1 - cos ? •
| sin - | = ?| --------- |
2 • 2 •


? • 1 + cos ? •
| cos - | = ?| --------- |
2 • 2 •

? • 1 - cos ? •
| tg - | = ?| --------- |
2 • 1 + cos ? •

Převod součtu a rozdílu sinů a kosinů na součin:

? + ß ? - ß
sin ? + sin ß = 2 . sin ----- . cos -----
2 2

? + ß ? - ß
sin ? - sin ß = 2 . cos ----- . sin -----
2 2

? + ß ? - ß
cos ? + cos ß = 2 . cos ----- . cos -----
2 2

? + ß ? - ß
cos ? - cos ß = 2 . sin ----- . sin -----
2 2


4 . A r i t m e t i c k á p o s l o u p n o s t


Definice :

Posloupnost nekonečná je funkce, jejímž definičním oborem jsou všechna při-
rozená čísla (bez omezení). n ? N

Posloupnost konečná je funkce, jejímž definičním oborem jsou přirozená čísla
menší než n0. n < n0 ? N

Aritmetickou posloupností nultého řádu nazýváme konstantní posloupnost
(d = 0). Číslo d se nazývá diference aritmetické posloupnosti [an].

Zápis posloupnosti

• (-1)n •?
| ----- | nekonečná posloupnost zapsaná n-tým členem
• n •n=1


• n •n0
| ----- | konečná posloupnost
• n + 1 •n=1

Obecně :
• •
| an |
• || •
|•------- index člene
•-------- n-tý člen

Grafické znázornění posloupnosti

• n + 1 •? 3 4 5 6
| ----- | ..... 2 ; - ; - ; - ; - ; .....
• n •n=1 2 3 4 5
an|
|
2 + . . . x Grafem jsou izolované body
| .
| . . . . . . . x
| . .
| . . . . . . . . . . . x
| . . . . . . . . . . . . . . ..x
1 + . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x
| . . . . .
| . . . . .
| . . . . .
| . . . . .
| . . . . .
----+-------•-------•-------•-------•-------•-------
0| 1 2 3 4 5 n
|

Rekurentní zadání aritmetické posloupnosti

Aritmetická posloupnost je zadána rekurentně, jestliže je zadáno něko-
lik prvních členů a předpis, jak tvořit členy další.

Příklad :

Posloupnost je zadána : a1 = 1 ; a2 = 2 an+2 = an+1 + an
----------------
předpis
pro : n = 1 : a3 = a2 + a1 = 2 + 1 = 3
n = 2 : a4 = a3 + a2 = 3 + 2 = 5
n = 3 : a5 = a4 + a3 = 5 + 3 = 8
n = 4 : a6 = a5 + a4 = 8 + 5 = 13
.
.
.

Posloupnost rostoucí a klesající

Rostoucí : an+1 > an např. 3, 7, 11, 15, ...

3 4 5
Klesající : an+1 < an např. 2, - , - , - ...
2 3 4

Pro součet prvních n členů aritmetické posloupnosti platí :

a1 + an
sn = a1 + a2 + ... + an = ------- n
2

Pro n-tý člen aritmetické posloupnosti platí :

an = ak + (n - k) d pro všechna n,k ? N



5 . L i m i t a f u n k c e

Abychom mohli definovat limitu, zavedeme nejprve pojem okolí bodu.

? ?
------------+--------+--------+--------------
a - ? a a + ?


Interval ( a - ? ; a + ? ) je otevřené okolí bodu a.
Interval < a - ? ; a + ? > je uzavřené okolí bodu a.
•--------•--------•
•------------- ? okolí bodu a


Definice limity :
Funkce f(x) má v bodu x = a limitu A, jestliže pro každé libovolně
zvolené ? > 0 existuje ? > 0 takové, že pro x z ? okolí bodu a je
hodnota funkce f(x) v ? okolí A.

lim f(x) = A
x->a
nazýváme
V bodech, v nichž je funkce definována, je limita rovna funkční
hodnotěa vypočteme ji přímo dosazením.

y|
| y = f(x)
|
|
|
•-------------•
| |
|? |
A•----------• |
|? | |
•-------• | |
| | | |
| |? | ?|
--------+-------•--•--•--------------
0| a-? a a+? x
|
Věty o limitě

1) Konstantní funkce : y = c

lim c = c
x->a

2) lim c f(x) = c . lim f(x)
x->a x->a
3) lim [ f(x) ± g(x) ] = lim f(x) ± lim g(x)
x->a x->a x->a
4) lim [ f(x) . g(x) ] = lim f(x) . lim g(x)
x->a x->a x->a
lim f(x)
f(x) x->a
5) lim ---- = -------- lim g(x) <> 0
x->a g(x) lim g(x) x->a
x->a


6) Jestliže f(x) = g(x) , pak lim f(x) = lim g(x)
x->a x->a
Nevlastní limita funkce

Říkáme, že funkce y = f(x) má v bodě a nevlastní limitu + ? resp . ? , právě
když ke každému číslu K existuje takové číslo ? > 0, že provšechny x, pro
něž je 0 < | x - a | < ?, platí f(x) > K, resp. f(x) < K.

lim f(x) = + ? resp. lim f(x) = - ?
x->a x->a

Příklad : 1
lim ----- = ? D(f) = R{3}
x->3 x - 3 |
•------- limita nevlastní

x | 3,1 | 3,01 | 3.001 | . . . | 2,999 | 2,99 | 2,9
----+-------+-------+-------+-------+-------+-------+-------
y | 10 | 100 | 1000 | . . . | -1000 | -100 | -10
Limita funkce v nevlastním bodě

Říkáme, že funkce y = f(x) má v nevlastním bodě + ?, resp. - ? limituA,
právě když ke každému číslu ? > 0 existuje takový bod c, že pro
všechnybody x > c, resp. x < c platí | f(x) - A | < ?.

lim f(x) = A resp. lim f(x) = A
x->? x->?

Derivace funkce

Definice :
Derivace funkce je limita podílu přírůstku funkce ku přírůstku proměnné_x,
když _x->0. Geometricky představuje derivace funkce y = f(x)
směrnicitečny t grafu funkce y = f(x) v daném bodu x.

f( x + _x ) - f(x)
y' = lim ------------------
_x->0 _x

y|
| y = f(x)
|
|
| B s
|
| | t
| A ? | _y
| •--------------•
| | |
| |f(x) |f(x+_x)
| | |
| | |
----+----------•--------------•------------------
0| x _x x+_x x _y
| ks = tg ? = --
_x
_y = f(x + _x) - f(x) _x . . . přírůstek proměnné x
_y . . . přírůstek funkce
ks . . . směrnice sečny AB

6 . M O I V R O V A V Ě T A

Číslo komplexní je číslo složené z části reálné a části ryze imaginární.

Pro komplexní číslo z = [a,b] se zavádějí tyto pojmy:

a = Re z - reálná část komplexního čísla z
_ b = Im z - imaginární část komplexního čísla z
z = [a,-b] - číslo komplexně sdružené k číslu z
|z| = ?(a2 + b2) - absolutní hodnota (modul) komplexního čísla z


Goniometrický tvar komplexního čísla

a = a1 + a2i - součtový (algebraický) tvar

|a| = ?(a12 + a22) - velikost komplexího čísla a (absolutní hodnota)

y |
|
| A(a)
| |a| |
| |a2
| |
| ? |
------------+-----------------------•----------------
0| x
|
? - argument komplexního čísla - je to orientovaný úhel s počátečním
ramenem +x a koncovým ramenem |a| (orientovaný úhel je úhel, který má
určeno počáteční a koncové rameno.

Komplexní číslo a = a1 + a2i vyjádřené pomocí argumentu ? a absolutní
hodnoty |a|:
a1
cos ? = --- -" a1 = |a| . cos ?
|a|

a2
sin ? = --- -" a2 = |a| . sin ?
|a|
a = a1 + a2i
a = |a| . cos ? + i|a| . sin ?

a = |a| . (cos ? + i sin ?) - komplexní číslo v goniometrickém
--------------------------------- tvaru
( |a| = 0 ) ...... a0 = cos ? + i sin ? - komplexní jednotka v gonio-
metrickém tvaru

Násobení komplexních čísel v goniometrickém tvaru

a = |a|.(cos ? + i sin ?)

b = |b|.(cos ? + i sin ?)
-----------------------------
a . b = |a|.(cos ? + i sin ?).|b|.(cos ? + i sin ?) =
= |a|.|b|.(cos ? cos ? + i cos ? sin ? + i sin ? cos ? + i sin ? sin ?) =
= |a|.|b|.[cos ? cos ? - sin ? sin ? + i(sin ? cos ? + sin ? cos ?)] =
= |a|.|b|.[cos(? + ?) + i sin(? + ?)]
-------------------------------------

Absolutní hodnota součinu dvou komplexních čísel je rovna součinu abso-
lutních hodnot jednotlivých činitelů. Argument součinu dvou komplexních
čísel je roven součinu argumentů jednotlivých činitelů.

Pro komplexní jednotky

a0 = cos ? + i sin ?
b0 = cos ? + i sin ?
------------------------
a0 b0 = cos(? + ?) + i sin(? + ?)

Součin komplexních jednotek je opět komplexní jednotka, která má argu-
ment rovný součtu jednotlivých činitelů.

Mocnina komplexního čísla v goniometrickém tvaru

a = |a|.(cos ? + i sin ?)

a2 = |a|2.(cos 2? + i sin 2?)

an = |a|n.(cos n? + i sin n?)
Moivrova věta:

|a| = 1 ...... a0 = cos ? + i sin ?

•----------------------------------------------------•
| a0n = (cos ? + i sin ?)n = cos n? + i sin n? |
•----------------------------------------------------•

Umocníme-li komplexní jednotku na n-tou, pak výsledkem je opět komplex-
ní jednotka s argumentem n?.

7 . G R A F Y G O N I O M E T R I C K Ý C H F U N K C Í

Goniometrické funkce je společenský název pro funkce sinus (symbol
sin), kosinus (symbol cos), tangens (symbol tg) a kotangens (symbol cotg).

Jednotková kružnice

y ?/2
II. 1 | I.
| 0 < ? < ?/2
|
| ?/2 < ? < ?
M | N
| | |
|yM |? ? |yM
? | | |
------•--------------+--------------•------
-1 xM 0| xN 1 x
|
|
|
|
|
|
III. -1 | IV.
3?/2



Vztahy mezi goniometrickými funkcemi stejného argumentu

sin2? + cos2? = 1 tg ? . cotg ? = 1

sin ? 1
tg ? = ----- 1 + tg2? = -----
cos ? cos2?

cos ? 1
cotg ? = ----- 1 + cotg2? = -----
sin ? sin2?
Sestrojení základní sinusoidy y = sin x


y|
|--------------|-----------------------------------------
|--------------|----------------------------------------
--------------+--------------+-----------------------------------------
|--------------|----------------------------------------x
|--------------|-----------------------------------------
|

napřímený úhel

Význam konstant sinusoidy y = A . sin (bx + c)

A - amplituda sinusovky (přímá úměrnost)
b - frekvence sinusovky (nepřímá úměrnost)
c - fázový posun

Grafy goniometrických funkcí, definiční obor, obor hodnot

f1 = { [x,y] ; y = sin x, x?R, y?<-1,1> } ................... (sinusoida)
f2 = { [x,y] ; y = cos x, x?R, y?<-1,1> } ................. (kosinusoida)
f3 = { [x,y] ; y = tg x, x?R {(2k + 1).1/2? }, y?R } ...... (tangentoida)
f4 = { [x,y] ; y = cotg x, x?R { k? }, y?R } .......... (kotangentoida)

|
|
|------------------------ |------------------------------
| |
---------+------------------------ |
| |
|------------------------ -------+------------------------------
|
|
|
|------------------------------
|
|

8 . A N A L Y T I C K É V Y J Á D Ř E N Í P Ř Í M K Y



Přímka je průsečnicí dvou rovin. Značí se malými latinskými písmeny (a,
b, p, g, ...). Jsou-li A, B dva různé body přímky, pak se tato přímka značí
" Přímka AB ".


Parametrické rovnice přímky
.
y| .
|
| -> . X = [x,y]
| s .
| A .
| .
| . | .
| . | . ->
.| |y1 . s - směrový vektor
. | |
. | |
------------+-------•-------------------------------
0| x1 x
|

Směrový vektor přímky je každý vektor rovnoběžný s touto přímkou.
->
Přímka je dána bodem A = [x1;y1] a směrovým vektorem s (s1;s2) :

->
p = ( A ; s )

Bod X má souřadnice [x;y]. Rovnice přímky je vztah, který platí pro souřad-
nice každého bodu X přímky p :

x = x1 + ts1 t - parametr
y = y1 + ts2
Parametrické rovnice přímky v prostoru

x = x1 + ts1
y = y1 + ts2 t - parametr
z = z1 + ts3

Směrnicový tvar rovnice přímky


y| .
| .
| .
| .
| . y = kx + q
| .
| .
| .
| .
.|
. |q
. o |
------------+---------------------------------------
. 0| x
|


k = tg o je tzv. směrnice přímky, přičemž o je orientovaný úhel, jehož
vrchol je v počátku souřadného systému, jedno rameno tvoří
osa x a druhé rameno je rovnoběžné s danou přímkou libovolně
orientovanou.

q - tzv. úsek vyťatý přímkou na ose y (y-ová souřanice průsečíku
přímky s osou y).

k > 0 - přímka je grafem rostoucí funkce y = kx + q
k = 0 - přímka je rovnoběžná s osou x
k < 0 - přímka je grafem klesající funkce y = kx + q
q = 0 - přímka prochází počátkem
Obecná rovnice přímky
->
Odvození : p ? (A = [x1;y1], s (s1;s2)]

p : x = x1 + ts1 / .s2
y = y1 + ts2 / .(-s1)
----------------------
x . s2 = x1s2 + ts1s2 • +
-y . s1 = -s1y1 - ts1s2 •
-----------------------
xs2 - ys1 = x1s2 - y1s1
s2x - s1y + y1s1 - x1s2 = 0
-- -- •-----------•
A B C

A x + B y + C = 0 - Přímka je dána lineární rovnicí o dvou
proměnných

A = s1 B = -s2 -> s2 = -B
->
Směrový vektor přímky : s = (-B ; A)
->
Vektor n = (A ; B) nazýváme normálový vektor přímky (protože je k ní kolmý).

Důkaz :
Pomocí skalárního součinu vektorů :
-> -> -> -> -> ->
s . n = -B . A + A . B = 0 -> n • s -> n • p

kde a,b,c jsou konstanty, přičemž konstanty a,b <> 0.

Převedení obecné rovnice přímky na směrnicový tvar

a c a c
y = - - x - - (b <> 0), k = - - , q = - -
b b b b

Obecná rovnice přímky v prostoru neexistuje.

9 . N E P Ř Í M Á Ú M Ě R N O S T A M O C N I N N É F c e .

Každá funkce, daná rovnicí
k
y = --- , k ? R {0}
x

kde k je libovolné reálné číslo různé od nuly, se nazývá nepřímá úměrnost.






k > 0 k < 0

| |
| |
| |
------------+------------- ------------+-------------
| |
| |
| |

Definiční obor i obor hodnot jsou prvky R {0}.

Grafem nepřímé úměrnosti je rovnoosá hyperbola.

1 0 . K V A D R A T I C K Á N E R O V N I C E

Nerovnice jsou zápisy tvaru :

e(x) > p(x)
e(x) < p(x)
e(x) ? p(x)
e(x) ? p(x)

Dovolené úpravy nerovnic jsou obdobné jako úpravy rovnic, až na vyjímky :

1) Násobíme-li obě strany nerovnice záporným číslem, obrátí se znak
nerovnice.
Příklad : 2 < 5 / . (-1)
-2 > -5
2) Přejdeme-li na obou stranách nerovnice k převráceným hodnotám,
obrátí se znak nerovnice.

Příklad : 2 < 4
1/2 > 1/4

Kvadratické nerovnice jsou zápisy tvaru :

ax2 + bx + c > 0
ax2 + bx + c ? 0
ax2 + bx + c < 0
ax2 + bx + c ? 0

Kvadratická nerovnice se řeší rozkladem kvadratického trojčlenu na součin :

ax2 + bx + c = a . (x - x1) . (x - x2)

Příklad :

Řešte v oboru R :

x2 - 2x - 15 > 0
x2 - 2x - 15 - rozložíme na součin : x2 - 2x - 15 = 0
x1 = 5, x2 = -3
x2 - 2x - 15 = (x - 5) . (x + 3)
(x - 5) . (x + 3) > 0






(x > 5 x < -3) (x < 5 x > -3)
------------------ ------------------
P1 = o P2 = (-3;5)

P = ( -3 ; 5 )

Grafické řešení kvadratické nerovnive

Je dána nerovnice ax2 + bx + c N 0 , kde N je znak nerovnosti.
Nakreslíme graf funkce f: y = ax2 + bx + c, a z průsečíků, příp. průsečíku
grafu funkce (paraboly) určíme řešení dané nerovnice.

1 1 . Ř E Š E N Í P R A V O Ú H L É H O T R O J Ú H E L N Í K U

Řešit pravoúhlý trojúhelník znamená určit na základě daných prvků prvky
ostatní.

C
|
|?
|
b | a
|vc
|
|
? c2 | c1 ?
A -------------•------------------------ B
D c

a,b - délky odvěsen
? = 90o = 1/2 ? rad - velikost úhlu proti přeponě
c - délka přepony
vc - délka výšky k přeponě

Pythagorova věta

a2 + b2 = c2

Slovy : Obsah čtverce sestrojeného nad přeponou se rovná součtu obsahů
čtverců, sestrojených nad oběma odvěsnami.


Euklidova věta o odvěsně

a2 = c . ca b2 = c . cb


Euklidova věta o výšce

(vc)2 = ca . cb
Goniometrické funkce je společenský název pro funkce sinus (symbol
sin), kosinus (symbol cos), tangens (symbol tg) a kotangens (symbol cotg).
V pravoúhlém trojúhelníku platí tyto vztahy:

protilehlá odvěsna přilehlá odvěsna
sin = ------------------ cos = ----------------
přepona přepona



protilehlá odvěsna přilehlá odvěsna
tg = ------------------ cotg = ------------------
přilehlá odvěsna protilehlá odvěsna

Určenost pravoúhlého trojúhelníka

Pravoúhlý trojúhelník je určen, jsou-li dány alespoň :
- obě odvěsny
- přepona a jedna odvěsna
- přepona a úhel k ní přilehlý

ŘEŠENÍ PRAKTICKÝCH ÚLOH

Příklad 2: Schodiště s padesáti schody má výšku 9 m a sklon 24o.
Vypočtěte výšku v a šířku s jednoho schodu.


| _ ABC :
|
| 9
| v = -- = 0,18
| 50
|
| v 0,18
-----------------------------------• s = ----- = ---- = 0,4
sin ? 0,45

Jeden schod je 40 cm široký a 18 cm vysoký.
Příklad 1: Určete namáhání na tlak a tah u nosníků podle obrázku.


|
----+------------------------------ G = 1800 N
| ? = 52o
| ------------
| F1 = ?
| F2 = ?
|
|
| _ MPN :
|
| G G
| sin ? = --- .......... F2 = -----
F2 sin ?

G G
tg ? = --- .......... F1 = ----
F1 tg ?

F1 = 1406,31 N
F2 = 2284,23 N








1 2 . Ú P R A V A A L G E B R A I C K Ý C H V Ý R A Z Ů

Základní algebraické vzorce

(a + b) . (a - b) = a2 - b2 - rozdíl čtverců
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + a3
(a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - a3

Usměrňování zlomků

Usměrnit zlomek znamená odstranit odmocninu nebo odmocniny ze jmnenovatele
vhodným rozšířením zlomku.

Příklad :

1 / .(4 - ?8) 4 - ?8 4 - ?8 4 - ?8
------ = ------------------- = -------- = ------
4 + ?8 / .(4 - ?8) (4 + ?8) . (4 - ?8) 42 - ?82 8

1 3 . E X P O N E N C I Á L N Í A L O G A R I T M I C K É F c e .
I N V E R Z N Í F U N K C E

Definice funkce

Množina M je podmnožinou množiny R. Funkce f je množina uspořádaných
dvojic [x;y], pro které platí : každému x ? M je přiřazeno právě jedno
y ? R (ne více !).
Proměnná x se nazývá nezávisle proměnná [argument] a proměnná y se na-
zývá závisle proměnná. Číslo y ? R se pro určité x ? R (pro něž platí
[x;y] ? f) nazývá funkční hodnota funkce f a označuje se f(x).
Jinak : Funkce je každé zobrazení v množině R.

Grag funkce y = f(x) je množina všech bodů o souřadnicích [x;f(x)], kde
x ? D(f).

Definiční obor funkce f je množina D, která má tu vlastnost, že ke každému
číslu x ? D je přiřazeno právě jedno takové číslo y, aby platilo [x;y] ? f.
Definiční obor funkce značíme D(f).

Obor hodnot funkce f je množina H, která má tu vlastnost, že ke každému čís-
lu y ? H existuje takové číslo x ? D, aby platilo [x;y] ? f. Obor hodnot
funkce značíme H(f).

Funkce prostá

Funkce y = f(x) s definičním oborem D se nazývá prostá, jestliže pro
každá dvě čísla x1, x2 ? D (x1 <> x2) platí f(x1) <> f(x2).

Funkce inverzní

Jestliže funkce y = f(x) je prostá na intervalu D a jejím obrem hodnot
je množina H, lze na množině H definovat takovou funkci, která každému
y ? H přiřazuje právě jedno číslo x ? D, pro které platí f(x) = y. Tato fun-
kce se nazývá funkce inverzní k funkci f a značí se f-1. Funkce f a f-1 se
pak nazývají vzájemně inverzní.


Definičním oborem funkce f-1 je obor hodnot funkce f, a oborem hodnot
funkce f-1 je definiční obor funkce f. Grafy funkcí f a f-1 jsou souměrné
podle osy prvního a třetího kvadrantu.
Jestliže funkce f je dána v analytickém tvaru y = f(x), pak analytický
tvar inverzní funkce dostaneme tak, že v analytickém tvaru funkce f všude
místo x píšeme y a místo y píšeme x a v takto získaném vyjádření osamostast-
níme y.

Exponenciální funkce

Obecný tvar funkce : y = ax (a > 0)

Graf exponenciální funkce : (vždy prochází bodem [0;1], protože a0 = 1)

y
|
9•
|
8•
|
7•
|
6•
|
5•
|
4•
|
3•
|
2•
| y=1x
-------------------------+--------------------------
1|
---------------------------+-----------------------------
-4 -3 -2 -1 0| 1 2 3 4 x

Definiční obor : D(f) = R

Obor hodnot : H(f) = R+{0} (všechna kladná reálná čísla)
Logariotmická funkce

Obecný tvar funkce : y = logax (x > 0 , a > 0 , a <> 1)

Graf logaritmické funkce : (vždy prochází bodem [1;0], protože loga 1 = 0)

y
4•
3•
2•
1•
--+--------------------------------------------------
-1• 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x
-2•
-3•
-4•


Funkce logaritmická a exponenciální jsou vzájemně inverzní.


1 4 . S K A L Á R N Í S O U Č I N D V O U V E K T O R Ů

O D C H Y L K Y V E K T O R Ů

Protože u mnoha geometrických a fyzikálních veličin (např. u síly,
rychlosti, zrychlení, intenzity elektrického pole, atd.) jsou podstatné ve-
likost, a směr, vytváří se jejich model (tzv. geometrický vektor) pomocí
pojmu orientované úsečky neboli pomocí uspořádané dvojice bodů v rovině.
__
Vázaným vektorem nazýváme orientovanou úsečku AB nebo uspořádanou dvo-
jici [A,B] bodů, přičemž bod A nazýváme počátečním bodem vektoru a bod B
koncovým bodem vektoru. __
Nositelkou vázaného vektoru AB nazývame přímku AB.

Volným vektorem nazýváme množinu všech vzájemně ekvivalentních vázaných
vektorů (tzn. vektorů, které se rovnoběžným posunutím do jednoho společného
bodu ztotožní).

Zobrazení vektoru v souřadném systému

Vektor v rovině je dán uspořádanou dvojicí souřadnic.
_ __
u = AB A = [x1;y1] B = [x2;y2]
u1 =x2 - x1
y u2 =y2 - y1
| ----------- _
| souřadnice vektoru u
|
|
| _ B
| u |
| |
| | y2 - y1 = u2
| A |
| •---------------------------•
| | x2 - x1 y2 |
| | y1 •-------• | u = (u1;u2)
| | u1 | -------------
| | |
----+-----------•---------------------------•---------------
0| x1 x2 x
_ _ _ _
Jestliže vektor u je reálným násobkem vektoru v, pak vektory u a v jsou
rovnoběžné (kolineární); zapisujeme u || v.

Opačně: _ _ _ _
Jestliže vektor u je kolineární s vektorem v, pak platí u = t . v.

Dva nenulové vektory nazýváme souhlasně rovnoběžné (souhlasně olineární
právě když jsou rovnoběžné a mají stejný směr.
Dva nenulové vektory nazýváme nesouhlasně rovnoběžné (nesouhlasně koli-
neární), právě když jsou rovnoběžné a mají opačný směr.

Skalární součin vektorů
_ _
u = (u1;u2) v = (v1;v2) :




_ _ _ _
1) u . v = |v| . |u| . cos ?
_ _
2) u . u = u1v1 + u2v2

Skalární součin kolmých vektorů je nula (cos 90o = 0).
Je-li skalární součin nenulový, jsou vektory různoběžné.

Odchylka dvou různoběžných vektorů

Ze vzorců pro skalární součin vektorů odvodíme vztah

u1v1 + u2v2
cov ? = -----------
|u|.|v|

1 5 . G O N I O M E T R I C K É R O V N I C E

Goniometrickými rovnicemi nazýváme rovnice, které kromě konstant obsa-
hují neznámou x (nebo výrazy s neznámou x) jako argumenty jedné nebo několi-
ka goniometrikých funkcí, tj. rovnice tvaru

f(sin x, cos x, tg x, cotg x, x) = 0

Základní goniometrickou rovnicí s neznámou x nazýváme rovnici typu
g(x) = k, kde g je goniometrická funkce a k je reálné číslo.
Vzhledem k periodičnosti goniometrických funkcí má každá základní
goniometrická rovnice buď prázdný nebo nekonečný obor pravdivosti. Zpravidla
hledáme jen řešení z intervalu <0o,360o>, tj. hledáme tzv. základní hodnoty.

Početní způsob řešení

Pomocí goniometrických vzorců převedeme goniometrické funkce s případ-
nými různými argumenty na funkce s týmž argumentem. Potom případné různé go-
niometrické funkce vyjádříme jedinou goniometrickou funkcí. Získané řešení
je třeba vždy ověřit dosazením do výchozí rovnice, neboť úpravy rovnic nemu-
sely být ekvivalentní.

Příklad:
Vypočtěte všechna x ? <0o,360o> z rovnice sin(2x) = sin x.

Podle vzorce pro sin(2x) je

2 sin x cos x = sin x
2 sin x cos x - sin x = 0

Z poslední rovnice lze vytknout sin x :

(sin x) (2 cos x - 1) = 0

sin x = 0 dává základní hodnoty x1 = 0o, x2 = 180o, x3 = 360o;
2 cos x - 1 = 0 dává základní hodnoty x4 = 60o, x5 = 300o.

Zkouška ukazuje, že všechna nalezená řešení splňují danou rovnici,
takže obor pravdivosi

P = {0o, 60o, 180o, 300o, 360o}
Gragický způsob řešení


Upravíme danou rovnici na tvaf f(x) = g(x), kde f a g jsou goniometric-
ké funkce a pro všechna x ? <0o,360o> sestrojíme grafy funkcí y = f(x)
a y = g(x). Řešením jsou souřadnice průsečíků těchto grafů.

Základní goniometrické vzorce

Součtové věty:
sin (? ± ?) = sin ? cos ? ± cos ? sin ?

cos (? ± ?) = cos ? cos ? ± sin ? sin ?

tg ? ± tg ?
tg (? ± ?) = ---------------
1 + tg ? tg ?
Goniometrické funkce násobného úhlu:

sin 2? = 2 sin ? cos ?

cos 2? = cos2? - sin2?

2 . tg ?
tg 2? = --------
1 - tg2?


Goniometrické funkce polovočního úhlu:

? • 1 - cos ? •
| sin - | = ?| --------- |
2 • 2 •

? • 1 + cos ? •
| cos - | = ?| --------- |
2 • 2 •

? • 1 - cos ? •
| tg - | = ?| --------- |
2 • 1 + cos ? •


Převod součtu a rozdílu sínů a kosínů na součin:

? + ß ? - ß
sin ? + sin ß = 2 . sin ----- . cos -----
2 2

? + ß ? - ß
sin ? - sin ß = 2 . cos ----- . sin -----
2 2

? + ß ? - ß
cos ? + cos ß = 2 . cos ----- . cos -----
2 2

? + ß ? - ß
cos ? - cos ß = 2 . sin ----- . sin -----
2 2




1 6 . Ú p r a v a g o n i o m e t r i c k ý c h v ý r a z ů

Goniometrické funkce je společenský název pro funkce sinus (symbol
sin), kosinus (symbol cos), tangens (symbol tg) a kotangens (symbol cotg).


Jednotková kružnice

y ?/2
II. 1 | I.
| 0 < ? < ?/2
|
| ?/2 < ? < ?
M | N
| | |
|yM |? ? |yM
? | | |
------•--------------+--------------•---------
-1 xM 0| xN 1 x
|
|
|
|
|
|
III. -1 | IV.
3?/2

M [xM,yM]

•--------------------------------• •-------•-------•-------•-------•-------•
| sin ? = yM | | | I. | II. | III .| IV. |
| cos ? = xM | •-------+-------+-------+-------+-------•
| | | sin | + | + | - | - |
| sin ? | •-------+-------+-------+-------+-------•
| tg ? = ----- , cos ? <> 0 | | cos | + | - | - | + |
| cos ? | •-------+-------+-------+-------+-------•
| | | tg | + | - | + | - |
| cos ? | •-------+-------+-------+-------+-------•
| cotg ? = ----- , sin ? <> 0 | | cotg | + | - | + | - |
| sin ? | •-------•-------•-------•-------•-------•
•--------------------------------•
Základní vztahy mezi goniometrickými funkcemi

sin2? + cos2? = 1 tg ? . cotg ? = 1

sin ? 1
tg ? = ----- 1 + tg2? = -----
cos ? cos2?

cos ? 1
cotg ? = ----- 1 + cotg2? = -----
sin ? sin2?








1 7 . S Í N O V Á A K O S Í N O V Á V Ě T A

Trojúhelník je n-úhelník pro n = 3.

C

?

b a


? ?
---------------------------------------
A c B

Věta sinová

a : b : c = sin ? : sin ? : sin ?

Poměr stran obecného trojúhelníka je roven poměru sinů vnitřních úhlů.

Věta kosinová (rozšířená Pythagorova věta)

•---------------------------------•
| a2 = b2 + c2 - 2 bc cos ? |
| |
| b2 = a2 + c2 - 2 ac cos ? |
| |
| c2 = a2 + b2 - 2 ab cos ? |
•---------------------------------•

Obsah čtverce nad stranou obecného trojúhelníka je roven součtu obsahů
čtverců nad ostatními stranami mínus dvojnásobný součin těchto stran a kosi-
nu úhlu jimi sevřeném.

Věty o určenosti trojúhelníka

Trojúhelník je jednoznačně určen, jsou-li dány tyto jeho prvky:
a) délka strany a velikosti dvou k ní přilehlých úhlů, jejichž součet veli-
kostí je menší než 180o (věta usu)
b) délky dvou stran a velikost úhlu jimi sevřeného (všta sus)
c) dvě různé délky stran a velikost úhlu protilehlého k delší straně (věta
Ssu)
d) délky tří stran, pro něž platí |a - b| < c < a + b (věta sss)

Řešení obecného trojúhelníka

Řešit obecný trojúhelník znamená určit na základě daných prvků prvky
ostatní.

1) Je dána strana a a úhly ?,? (usu) :
? = 180o - (? + ?)

sinová věta :
a sin ? a sin ?
b = ------- c = -------
sin ? sin ?




2) Jsou dány strany a,b (b > a) a úhel ? (Ssu) :

sinová věta :
a a sin ?
sin ? = - . sin ? c = -------
b sin ?

? = 180o - (? + ?)

3) Jsou dány strany b,c a úhel ? (sus) :

kosinová věta : a2 = b2 + c2 - 2 bc cos ?
sinová věta :
b
sin ? = - . sin ?
a

? = 180o - (? + ?)
4) Jsou dány strany a,b,c (sss) :

kosinová věta :
b2 + c2 - a2
cos ? = ------------
2 bc

sinová věta :
b
sin ? = - . sin ?
a

? = 180o - (? + ?)

1 8 . K O L I N E Á R N Í A L I N E Á R N Í F U N K C E


Definice funkce

Množina M je podmnožinou množiny R. Funkce f je množina uspořádaných
dvojic [x;y], pro které platí : každému x ? M je přiřazeno právě jedno
y ? R (ne více !).
Proměnná x se nazývá nezávislé proměnná [argument] a proměnná y se na-
zývá závisle proměnná. Číslo y ? R se pro určité x ? R (pro něž platí
[x;y] ? f) nazývá funkční hodnota funkce f a označuje se f(x).

Jinak : Funkce je každé zobrazení v množině R.

Grag funkce y = f(x) je množina všech bodů o souřadnicích [x;f(x)], kde
x ? D(f).

Definiční obor funkce f je množina D, která má tu vlastnost, že ke kaž-
dému číslu x ? D je přiřazeno právě jedno takové číslo y, aby platilo
[x;y] ? f. Definiční obor funkce značíme D(f).

Obor hodnot funkce f je množina H, která má tu vlastnost, že ke každému
číslu y ? H existuje takové číslo x ? D, aby platilo [x;y] ? f. Obor hodnot
funkce značíme H(f).




Konstantní funkce f(x) = c je taková funkce, jejíž obor hodnot nabývá
pouze jednoho čísla (konstanty c). Definičním oborem této funkce je celá
množina reálných čísel. Grafem konstantní funkce je přímka rovnoběžná s osou
x.
y
|
|
3•
|
2• y = 1.5
---------------+------------------------------------
1•
|
----------------+-------------------------------------- x
-2 -1 0| 1 2 3 4 5
-1•
|


1 9 . K V A D R A T I C K Á R O V N I C E

Kvadratická funkce

Je to každá funkce y = ax2 + bx + c a ? R, b,c ? R

f : {[x,y] ? RxR ; y = ax2 + bx + c }

ax2 ..... kvadratický člen
bx ...... lineární člen
c ....... absolutní člen

Kvadratická rovnice

y = 0 : ax2 + bx + c = 0

Hledáme hodnoty proměnné x, pro které je hodnota funkce rovna nule.

Řešení kvadratické rovnice


1. Rovnice bez absolutního člene - řeší se vytknutím x
c = 0 :
ax2 + bx = 0
x . (ax + b) = 0

I. x1 = 0
II. ax + b = 0
b b
x2 = - --- P = { 0, - --- }
a a

Kvadratická rovnice bez absolutního člene má vždy dva kořeny, z nichž
jeden je roven nule.

2. Rovnice ryze kvadratická
b = 0 :
ax2 + c = 0



c
x2 + --- = 0
a

• c •
x2 - | - --- | = 0
• a •
•--------------•
• c •2 | c |
x2 - | - --- | = 0 | - --- ? 0 |
• a • | a |
•--------------•
• c • • c •
| x + - --- | . | x - - --- | = 0
• a • • a •

c
I. x + - --- = 0
a
c
x1 = - - ---
a
c
II. x - - --- = 0
a
c
x2 = - ---
a

c
P = { ± - --- }
a

Ryze kvadraticnká rovnice má vždy dva kořeny, které se liší pouze znamením
3. Úplaná (obecná) kvadratická rovnice

ax2 + bx + c = 0

• b c •
a . | x2 + - x + - | = 0 / :a
• a a •

b c
x2 + - x + - = 0
a a

• b •2 b2 c b
| x + -- | - --- + - = 0 x + -- = y
• 2a • 4a2 a 2a

b2 c
y2 - --- + - = 0
4a2 a

b2 c
y2 - --- + - = 0
4a2 a




b2 c
y2 = --- - - - rovnice ryze kvadratická
4a2 a

b2 - 4ac
y2 = -------- /
4a2

b2 - 4ac
y12 = ± --------
4a2

b2 - 4ac
y12 = ± ---------
2a

b b2 - 4ac
x12 = - -- ± ---------
2a 2a

- b ± b2 - 4ac
x12 = ----------------
2a

b2 - 4ac = D - diskriminant kvadratické rovnice

Význam diskriminantu D


-b ± D
x12 = --------
2a


D > 0 - dva kořeny reálné různé (řešením je dvouprvková množina reálných
čísel)
D = 0 - jeden kořen dvojnásobný (řešením je jednoprvková množina)

D < 0 - rovnice nemá reálné řešení

Rozklad kvadratického trojčlenu na součin


ax2 + bx + c = 0 a,b,c ? R 0 - kvadratický trojčlen

položme ax2 + bx + c = 0 .......... dostaneme kořeny x1, x2

b c
x1 + x2 = - - x1 . x2 = -
a a

• b c •
ax2 + bx + c = a . | x2 + - x + - | =
• a a •
• •
= a . | x2 - (x1 + x2) . x + x1 . x2 | =
• •
• •
= a . | x2 - x . x1 - x . x2 + x1 . x2 | =
• •

• •
= a . | x . (x - x1) - x2 . (x - x1) |
• •

= a . (x - x1) . (x - x2) - součin kořenových činitelů

Závěr :

ax2 + bx + c = a . (x - x1) . (x - x2) , kde x1, x2 jsou
kořeny kvadratické rovnice ax2 + bx + c = 0.


2 0 . Ř e š e n í s o u s t a v y r o v n i c

K jednoznačnému určení množiny všech řešení soustavy rovnic s n nezná-
mými je třeba n vzájemně nezávislých a vzájemně si neodporujících rovnic.
Způsob řešení spočívá v tom, že se n rovnic s n neznámými postupně redukuje
na jednu rovnici s jednou neznámou. Pomocí hodnoty jedné neznámé vypočtené
z této rovnice lze postupně najít hodnoty ostatních neznámých.


ZÁKLADNÍ METODY ŘEŠENÍ SOUSTAV

Dosazovací (substituční, vylučovací) metoda

Řešíme jednu z rovnic pro kteroukoliv neznámou a získaný výraz dosadíme
do druhé rovnice. Tím odstraníme jednu proměnnou. Pokud po dosazení dostane-
me rovnost 0 = 0, má soustava nekonečně mnoho řešení, pokud dostaneme ne-
pravdivý výrok, nemá soustava žádné řešení.

Sčítací (aditační, slučovací) metoda

Obě strany každé rovnice vynásobíme takovým vhodným číslem, aby u jedné
z neznámých byl v obou rovnicích stejný koeficient, ale s opačným znaménkem.
Sečtením obou rovnic příslušnou neznámou odstraníme. Pokud po dosazení dos-
taneme rovnost 0 = 0, má soustava nekonečně mnoho řešení, pokud dostaneme
nepravdivý výrok, nemá soustava žádné řešení.


2 1 . K o n s t r u k t i v n í ú l o h y


Shodné zobrazení

Shodné zobrazení (shodnost) je takové zobrazení, které každým dvěma
prvkům A, B přiřazuje obrazy A',B' tak, že platí |AB| = |A'B'|.

Samodružné body - takové body, které jsou daným zobrazením přiřazeny
samy sobě (A ? A').

Shodná zobrazení v rovině :
- osová souměrnost
- středová souměrnost
- otáčení
- posunutí
- totožnost



2 2 . N - t á o d m o c n i n a n e z á p o r n é h o č í s l a

Nezáporné číslo b, pro něž platí bn = a , se nazývá n-tá odmocnina
z čísla a, a značí se n?a (místo 2?a píšeme ?a). Číslo a se nazývá základ
odmocníny (odmocněnec) a číslo n se nazývá odmocnitel. ( a,b ? R0+, n ? N )

Pro odmocniny platí ( a,b ? R0+, m,n ? N, k ? Z ) :
Existuje právě jedno číslo b, pro něž platí bn = a. Dále

n?0 = 0 n?1 = 1 1?a = a

n?(ab) = n?a . n?b

• a • n?a
n?| - | = --- (b <> 0)
• b • n?b

(n?a)k = n?ak = ak/m (a <> 0)

n?a . m?a = nm?an+m

?a + ?b = ?[a + b + 2?(ab)]

?a - ?b = ?[a + b - 2?(ab)] (a ? b)

• a + ?(a2 - b) • • a - ?(a2 - b) •
?(a ± ?b) = ?| ------------- | ± ?| ------------- | (a2 ? b)
• 2 • • 2 •


Usměrňování zlomků

Usměrnit zlomek znamená odstranit odmocninu nebo odmocniny ze jmnenovatele
vhodným rozšířením zlomku.

Příklad :

1 / .(4 - ?8) 4 - ?8 4 - ?8 4 - ?8
------ = ------------------- = -------- = ------
4 + ?8 / .(4 - ?8) (4 + ?8) . (4 - ?8) 42 - ?82 8
Příklady :

1 ?a
-- = -- (a > 0)
?a a

1 a ± ?b
------ = ------ (a2 <> b, b > 0)
a ± ?b a2 - b

1 ?a ± ?b
------- = ------- (a <> b, a > 0, b > 0)
?a ± ?b a - b





2 3 . O b s a h y r o v i n ý c h o b r a z c ů

Základní vzorce

1. Rovnoběžník ............... S = ava = ab sin ?
a) obdélník ............. S = ab
b) čtverec .............. S = a2
c) kosočtverec .......... S = av = 1/2 u1u2

2. Trojúhelník : S = 1/2 ava = 1/2 bvb = 1/2 cvc
S = 1/2 ab sin ? = 1/2 bc sin ? = 1/2 ac sin ?
------------------------------- a + b + c
S = / s . (s - a) . (s - b) . (s - c) , s = ---------
2
a + c
3. Lichoběžník ............... S = ----- v
2



Obsah kruhu a jeho částí
? . d2
Obsah kruhu ........................... S = ? . r2 = ------
4

Obvod kruhu ........................... o = 2 ? r = ? d

? r2 ?
Obsah kruhové výseče ...... Sv = ------ = 1/2 r2 arc ? = 1/2 l r
360

Kruhová výseč je průnik kruhu a středového úhlu.


Obsah kruhové úseče ...... Su = 1/2 r2 (arc ? - sin ?)

Kruhová úseč je průnik kruhu a poloroviny.

2 4 . G e o m e t r i c k á p o s l o u p n o s t

Posloupnost {an} se nazývá geometrická posloupnost, právě když platí :

an+1 = an . q pro všechna n ? Z,

kde číslo q<>0 se nazývá kvocient geometrické posloupnosti {an}.


{an} = (a1, a1q, a1q2, a1q3, ...... )

Pro q > 1 je geometrická posloupnost při : a1 > 0 - rostoucí
a1 < 0 - klesající
Pro 0 < q < 1 je geometrická posloupnost při : a1 > 0 - klesající
a1 < 0 - rostoucí
Pro q < 0 je geometrická posloupnost alternující (se střídavými znaménky)
Pro q = 1 je dostaneme konstantní posloupnost, (s konstantními členy).

Pro n-tý člen geometrické posloupnosti platí :

an = a1qn-1 pro všechna n ? N


Pro součet prvních n členů geometrické posloupnosti platí :

a1(qn - 1) anq - a1
sn = ---------- = -------- pro q <> 1
q - 1 q - 1

sn = a1n pro q = 1

Pravidelný vzrůst

2 5 . K o m p l e x n í č í s l o

Číslo komplexní je číslo složené z části reálné a části ryze imaginární.

Pro komplexní číslo z = [a,b] se zavádějí tyto pojmy:

a = Re z - reálná část komplexního čísla z
_ b = Im z - imaginární část komplexního čísla z
z = [a,-b] - číslo komplexně sdružené k číslu z
|z| = ?(a2 + b2) - absolutní hodnota (modul) komplexního čísla z


Grafické znázornění komplexních čísel

Protože každému komplexnímu číslu z přísluší právě jedna uspořádaná
dvojice [a,b], lze je znázornit jako bod [a,b] v tzv. Gaussově rovině (rovi-
na komplexních čísel).

y
| A(a)
4i| . . . . . . . x bod A je obra§
B | . zem komplexního
x . . . . . 3i| . čísla a
. | .
. 2i| .
. | .
. 1i| .
---------------------------+----------------------------
-4 -3 -2 -1 0| 1 2 3 4 x
. -1i| .
. | .
. -2i| . . . . . x A = 4 + 4i
. | D B = -3 + 3i
x . . .-3i| C = -2 - 3i
C | D = 3 - 2i
-4i|

Goniometrický tvar komplexního čísla

a = a1 + a2i - součtový (algebraický) tvar
|a| = ?(a12 + a22) - velikost komplexího čísla a (absolutní hodnota)
y |
| A(a)
| |a| |
| |a2
| ? |
------------+-----------------------•---------
0| x


? - argument komplexního čísla - je to orientovaný úhel s počátečním
ramenem +x a koncovým ramenem |a| (orientovaný úhel je úhel, který má
určeno počáteční a koncové rameno.

Komplexní číslo a = a1 + a2i vyjádřené pomocí argumentu ? a absolutní
hodnoty |a|:
a1
cos ? = --- -" a1 = |a| . cos ?
|a|

a2
sin ? = --- -" a2 = |a| . sin ?
|a|

a = a1 + a2i
a = |a| . cos ? + i|a| . sin ?

a = |a| . (cos ? + i sin ?) - komplexní číslo v goniometrickém
--------------------------------- tvaru

( |a| = 0 ) ...... a0 = cos ? + i sin ? - komplexní jednotka v gonio-
metrickém tvaru


Absolutní hodnota komplexního čísla

Absolutní hodnota komplexního čísla je vzdálennost jeho obrazu od počátku.

y
| |a| ? R0+
| A(a)
| |a| | |a| = ?(a12 + a22)
| |a2
| |
---------+------------------•--------------
| a1 x
Komplexní čísla opačná

a = a1 + a2i k němu opačné : -a = -a1 - a2i

Obrazy komplexních čísel opačných jsou souměrné podle počátku.

y
|
|
| A(a)
| |
-a1 | |
------•-------------------+-------------------•---------
| 0| a1 x
| |
|
A'(a') |
|


Komplexní čísla sdružená
_
a = a1 + a2i k němu sdružené : a = a1 - a2i


Komplexní čísla sdružená se liší pouze znamením při imaginární složce.
Obrazy komplexních čísel sdružených jsou souměrné podle reálné osy.

y
|
| A(a)
| |
| |
| |a2
| |
------------+--------------+----------------
0| a1 | x
| |-a2
| |
| | _
| A(a)

2 6 . Ř e š e n í k v a d r i t i c k é r o v n i c e v o b o r u

k o m p l e x n í c h č í s e l

Kvadratická funkce

Je to každá funkce y = ax2 + bx + c a ? R, b,c ? R

f : {[x,y] ? RxR ; y = ax2 + bx + c }

ax2 ..... kvadratický člen
bx ...... lineární člen
c ....... absolutní člen



Kvadratická rovnice

y = 0 : ax2 + bx + c = 0

Hledáme hodnoty proměnné x, pro které je hodnota funkce rovna nule.


ax2 + bx + c = 0 - b ± ? D
x12 = -----------
D = b2 - 4ac 2a



D > 0 - dva kořeny reálné různé

D = 0 - jeden kořen dvojnásobný

D < 0 - rovnice nemá řešení v oboru R (dva kořeny komplexně sdružené)







Řešení kvadratické rovnice

D = - |D| ..... ?D = ?(-|D|) = ?(-1.|D|) = ?(-1) . ?|D| = i.?|D|


- b ± -1 . |D| - b ± i |D|
x12 = ---------------- = -------------
2a 2a

-b ?|D|
x12 = -- ± i ----
2a 2a


Komplexní čísla sdružená
_
a = a1 + a2i k němu sdružené : a = a1 - a2i

Komplexní čísla sdružená se liší pouze znamením při imaginární složce.
Obrazy komplexních čísel sdružených jsou souměrné podle reálné osy.

y
|
| A(a)
| |
| |
| |a2
| |
------------+--------------+----------------
0| a1 | x
| |-a2
| |
| | _


2 7 . L i n e á r n í r o v n i c e a n e r o v n i c e
s a b s u l u t n í h o d n o t o u

Definice absolutní hodnoty

Absolutní hodnota reálného čísla a se značí |a| a definuje se takto :

a ? 0 -" |a| = a

a < 0 -" |a| = - a

Rovnice nebo nerovnice s absolutní hodnotou se řeší nadvakrát : poprve pro
případ, kdy je výraz v absolutní hodontě kladný nebo roven nule a podruhé
pro případ, kdy je tento výraz záporný. Výsledný obor pravdivosti je pak dán
sjednocením těchto dvou výsledků.

Příklad :
x ? R : |x - 2| < 5

I. x - 2 ? 0 ......... |x - 2| = x - 2
x ? 2


x - 2 < 5
x < 7 P1 = <2 ; 7>

II. x - 2 < 0 ......... |x - 2| = - (x - 2) = 2 - x
x < 2

2 - x < 5
- x < 3
x > -3 P2 = (-3 ; 2)


P = P1 U P2 = <2 ; 7> U (-3 ; 2) = (-3 ; 7)

Grafické znázornění :

y1 = |x - 2| ; y2 = 5

y1 < y2
y
|
|
|
| y1 = |x - 2|
|
-----•-----------+---------------------------•-----
| 5| | y2 = 5
| | |
| | |
| | |
-----------•-----------+---------------------------•------------ x
- 3 0| 7
| | A(a)

2 8 . B i n o m i c k á v ě t a

Faktoriál čísla n

Faktoriálem čísla n nazýváme funkci F na množině všech nezáporných ce-
lých čísel, definovanou takto :

F(0) = 1

F(n + 1) = (n + 1) F(n) (n ? N0)

Místo F(n) píšeme n!. Platí 0! = 1. Pro n ? 1 je

n! = 1 . 2 . ..... . (n - 1) . n


Kombinační číslo - jeho výpočet


• n • n . (n - 1) . (n - 2) . ....... . (n - k + 1)
| | = ---------------------------------------------
• k • k!





Pascalův trojúhelník k určení kombinačních čísel


n = 0 1

n = 1 1 1

n = 2 1 2 1

n = 3 1 3 3 1

n = 4 1 4 6 4 1

n = 5 1 5 10 10 5 1

n = 6 1 6 15 20 15 6 1


Pascalův trojúhelník lze použít k odvozování algebraických vzorců, typu
(a ± b)n :

(a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2 , odkud (a + b)2 = (a - b)2 + 4ab
(a ± b)3 = a3 ± 3a2b + 3ab2 ± b3
(a ± b)4 = a4 ± 4a3b + 6a2b2 ± 4ab3 + b4
(a ± b)5 = a5 ± 5a4b + 10a3b2 ± 10a2b3 + 5ab4 ± b5


Binomická věta pro kladné celočíselné exponenty n :

• n • • n • • n • • n •
(a + b)n = | | an + | | an-1b + | | an-2b2 + | | an-3b3 +
• 0 • • 1 • • 2 • • 3 •

• n • • n •
+ ... + | | abn-1 + | | bn
• n - 1 • • n •

Pro (a - b)n platí předchozí vzorec s tím rozdílem, že se u jednotlivých
členů střídají znaménka (počínaje kladným).

Určení r-tého člene binomického rozvoje

(a + b)n 0 < r < n

r-tý člen : • n •
| | = an-r+1 . br-1
• r - 1 •





3 9 . U R Č I T Ý I N T E G R Á L


Určitým integrálem spojité funkce f(x) v mezích od a do b nazýváme
přírůstek


?b
| f(x) dx = F(b) - F(a) ,
?a

který také zapisujeme ve tvaru

• •b
| F(x)|
• •a

kde F je primitivní funkce k funkci f na intervalu (a,b); tento interval na-
zýváme integračním oborem a číslo a nazýváme dolní (číslo b horní) integrač-
ní mezí.
Výpočet určitého integrálu se takto převádí na určení primitivní
funkce, do níž se za proměnnou dosadí postupně horní a dolní mez integrálu
a výsledné hodnoty se (v uvedeném pořadí) odečtou.



Vlastnosti určitého integrálu


?a
| f(x) dx = F(a) - F(a) = 0
?a

?a ?b
| f(x) dx = - | f(x) dx
?b ?a


a < b < c :

?c ?b ?c
| f(x) dx = | f(x) dx + | f(x) dx
?a ?a ?b


Užití určitého integrálu


VÝPOČET OBSAHU OBRAZCŮ
.
y| y = f(x)
| |
| . | Hledáme obsah obrazce
| | omezeného grafem, osou x
| . | a souřadnicemi y v bo-
| _y | dech x1 a x2 (křivočarý
| . . | lichoběžník).
| | | Obsah S závisí na x (je
| | | funkcí proměnné x).
| | y _ S y+_y |
| | |
| | |
--+-------•--------------------•--------
0| x1 x _x x2 x
|

y . _x < _S < (y + _y)._x / : _x > 0


_S
y < -- < y + _y
_x

Jestliže _x -> 0 ....... _y -> 0

_S
y < lim -- < y
_x->0 _x

_S
lim -- = y => S' = y (S'dx = dy)
_x->0 _x

?
S = | y dx = F(x) + C
?

x = x1 : S(x1) = F(x1) + C = 0 => C = -F(x1) ?x2
x = x2 : S(x2) = F(x2) + C => S(x2) = F(x2) - F(x1) = | y dx
?x1

x1 ?x2
S = lim ? _S = | f(x) dx
_x->0 x2 ?x1


Uršitý integrál je limita součtu nekonečně mnoha nekonečně malých elementů.
Obsah vypočtený určitým integrálem vychází orientovaně : nad osou x kladný,
pod osou x záporný.


VÝPOĚT OBJEMU ROTAČNÍCH TĚLES

Rotační těleso vznikne rotací grafu funkce y = f(x) kolem osy x (osa x je v
tomto pčípadě osa otáčení).


? . [f(x)]2 . _x < _V < ? . [f(x + _x)]2 . _x / : _x

_V
? . [f(x)]2 < -- < ? . [f(x + _x)]2
_x

Jestliže _x -> 0 ...... _y -> 0 :

_V _V
? . lim [f(x)]2 < lim -- < ? . lim [f(x)]2 => lim -- = ? . [f(x)]2
_x->0 _x->0 _x _x->0 _x->0 _x

?x2
V' = ? . [f(x)]2 => V = | ? . [f(x)]2 dx
?x1




?b
VÝPOČET DÉLKY OBLOUKU KŘIVKY : l = | ?(1 + [f(x)]2) dx

?a


?b
VÝPOČET POVRCHU ROTAČNÍHO TĚLESA : A = 2? | f(x) . ?(1 + [f'(x)]2) dx
?a






4 0 . P A R A B O L A

Obecná algebraická rovnice druhého stupně v x a y :

F(x,y) = a11x2 + 2a12xy + a22y2 + 2a13x + 2a23y + a33 = 0

Koeficienty aik jsou reálná čísla. Touto rovnicí lze vyjádřit každou kuželo-
sečku (tj. kružnici, elipsu, hyperbolu, parabolu, dvojici přímek a bod).

Diskriminant kuželosečky : | a11 a12 a13 |
| a21 a22 a23 |
| a31 a32 a33 |

Diskriminant kvadratických členů : ? = | a11 a12 |
| a21 a22 |

Je-li ? = 0 , je rovnicí určena parabola, při nenulové hodnotě ? je
rovnicí určena hyperbola nebo elipsa.

Definice paraboly :
Parabolou nazýváme množinu právě těch bodů roviny, které mají stejné
vzdálenosti od pevného bodu F této roviny (ohnisko) a od pevné přímky d této
roviny (přímka řídící), přičemž přímka d neprochází bodem F.

d| y|
| | .
|----|-------------------o
| | . ' P
| | '
| | .
| p | p
| - | .-
| 2 | 2
-+----+----+--------------------------
D| V?0| F o?x
| | '
| |
| | '
| | .
| | ' .
| | ' .
| | '
F - ohnisko paraboly
d - řídící [určující] přímka [direktrix]
o - osa paraboly
V - vrchol paraboly
|DF| = |p| - poloparametr paraboly

2|DF| - parametr paraboly
PF - ohniskový průvodič
PL - řídící průvodič





Rovnice paraboly v základní poloze (osa paraboly v ose x a vrchol
v počátku) :

y2 = 2px

přičemž pro p>0 je parabola otevřená doprava a pro p<0 je otevřená doleva.

Řídící přímka má rovnici :

p • p •
x = - - , a ohnisko F = | - ; 0 |
2 • 2 •



Vrcholová rovnice paraboly (osa paraboly rovnoběžná s osou x a vrchol
V = [m,n] ) :


(y - n)2 = 2p(x - m)


přičemž pro p>0 je parabola otevřená doprava a pro p<0 je otevřená doleva.

Řídící přímka má rovnici :

p • p •
x = m - - , a ohnisko F = | m + - ; n|
2 • 2 •


Kvadratická funkce


Obecný tvar funkce : y = a2x2 + a1x + a0

Popis grafu : parabola druhého stupně (kvadratická parabola), jejíž osa je
rovnoběžná s osou y.

Koeficient a2 má tento význam :
a2 > 0 - parabola je otevřená nahoru
a2 < 0 - parabola je otevřená dolů

Vrchol paraboly :

• -a1 (a1)2 •
V = | --- ; - ----- + a0 |
• 2a2 4a2 •


Zvláštní případy :


y = a2x2 - parabola s vrcholem v počátku souřadného systému

y = x2 + a0 - normální parabola s vrcholem V = [0 , a0]

y = (x + b)2 - normální parabola s vrcholem V = [-b , 0]






4 1 . K O M B I N A T O R I K A


Kombinatorika patří do binární matematiky (jedná o konečných množinách
a jejich podmnožinách).

Základní pojmy

[a ; b] - uspořádaná dvojice ( [a;b] není totožno s [b;a] ! )
[a1; a2; a3; ... ; ak] - uspořádaná k-tice

V uspořádané k-tici záleží na poředí prvků (záměnou prvků dostaneme ji-
nou k-tici).


VARIACE

Variace k-té třídy n prvků jsou uspořádané k-tice tvořené z množiny o n prv-
cích, v nichž se každý prvek vyskytuje pouze jednou.

Vk(n) - variace k-té třídy n prvků

Počet variací k-té třídy n prvků :

V1(n) = n
V2(n) = n . (n - 1)
V3(n) = n . (n - 1) . (n - 2)
V4(n) = n . (n - 1) . (n - 2) . (n - 3)
n! • n •
Vk(n) = n . (n - 1) . (n - 2) . ........ . (n - k + 1) = -------- = | |k!
(n - k)! • k •


PERMUTACE

Permutace jsou variace n-té třídy n prvků :

Vn(n) = P(n) = n . (n - 1) . (n - 2) . ..... . 3 . 2 . 1 = n!
•-----------------------------------------•
n činitelů

Permutace se liší pouze přestavěním prvků.

Příklad :

Kolik různých trikolor lze vytvořit ze tří barev ?

t = V3(3) = P(3) = 3 . 2 . 1 = 3! = 6




KOMBINACE

Kombinací k-té třídy n nazýváme každou podmnožinu o k prvcích z množiny
o n prvcích. U kombinace bez opakování nepřihlížíme k uspořádání prvků, pro-
tože každý prvek z daných n prvků se v jedné kombinaci může vyskytnout nej-
výše jednou.

Počet všech kombinací k-té třídy z n prvků bez opakování :

(n ? k)

• n • n(n - 1) ... (n - k + 1) n! Vk(n)
Ck(n) = | | = ------------------------ = ---------- = -----
• k • 1.2 ... k k!(n - k)! P(k)


Příklad :
Kolik možností by bylo při tahu Sportky, kdyby se počet sportů rozšířil
na 90 a počet tažených čísel zmenšil na pět?

n = 90, k = 5

• 90 •
C5(90) = | | = 43 949 268
• 5 •




VARIACE S OPAKOVÁNÍM

Variace k-té třídy n prvků s opakováním jsou uspořádané k-tice tvořené
z množiny o n prvcích, v nichž se každý prvek může vyskytovat až k-krát.

V'k(n) - variace k-té třídy n prvků s opakováním

Počet variací k-té třídy n prvků s opakováním :

V'k(n) = nk

Příklad :
Kolik možností je při vyplňování sázenky o 12 utkáních ?

n = 3 (vítězství, prohra, nerozhodně)

k = 12

V'12(3) = 312 = 531441










4 2 . U Ž I T Í I N T E G R Á L N Í H O P O Č T U


Určitým integrálem spojité funkce f(x) v mezích od a do b nazýváme
přírůstek

?b
| f(x) dx = F(b) - F(a) ,
?a

který také zapisujeme ve tvaru

• •b
| F(x)|
• •a

kde F je primitivní funkce k funkci f na intervalu (a,b); tento interval na-
zýváme integračním oborem a číslo a nazýváme dolní (číslo b horní) integrač-
ní mezí.
Výpočet určitého integrálu se takto převádí na určení primitivní
funkce, do níž se za proměnnou dosadí postupně horní a dolní mez integrálu
a výsledné hodnoty se (v uvedeném pořadí) odečtou.



Vlastnosti určitého integrálu


?a
| f(x) dx = F(a) - F(a) = 0
?a

?a ?b
| f(x) dx = - | f(x) dx
?b ?a


a < b < c :

?c ?b ?c
| f(x) dx = | f(x) dx + | f(x) dx
?a ?a ?b
Základní integrační vzorce


? xn+1
| xn dx = ----- + C n <> -1
? n + 1

?
| x-1 dx = ln |x| + C
?

?
| sin x dx = - cos x + C
?
?
| cos x dx = sin x + C
?


? 1
| ----- dx = tg x + C
? cos2x

? 1
| ----- dx = -cotg x + C
? sin2x

?
| ex dx = ex + C
?

? ax
| ax dx = ---- + C
? ln a



Užití integrálního počtu v technice (příklady)


Příklad 1 :
Určete práci, vykonanou expanzí plynu z objemu V1 na objem V2,
působí-li na plošnou jednotku pístu o ploče S tlak p (jednotkový tlak).


|
| | |
| | | celkový tlak na píst : F = S . p
|- - - - + - - - - •
|- - - - + - - - - • • dA = F . dx = S . p . dx
| | | |
| | | | S . dx = dV => dA = p . dV
| | | |dx
| | | |
•--------•---------• |
•------------------• • ?V2
| S /| | A = | p . dV
| V1 | p | ?V1
| | | _________________
•------------------• -------------------






Příklad 2 :
Určete tuto práci, jestliže závislost tlaku na objemu je izotermická :

k
p . V = konst , p = ---
V

v2 v2
? ? k • •v2 V2
= | p dV = | - dV = k . | ln|V| | = k . ln --
? ? V • •v1 V1
v1 v1



Příklad 3 :
určete tlak na hráz tvaru rovnoramenného lichoběžníka o délce jedné
základny 40 m (v úrovni hladiny), délce druhé základny 15 m (u dna) a výšce
ponořené části 8 m.

12,5
|<-->|
| | 40 m
--------------------------------------- - - -
| ? / |
| / |
| / | 8 m
| / |
/ |
--------------------------- - - - - -
15 m


dF = ró.z.h.dx ( z = g(h) )

8 h 8x
tg ? = ---- = --- => h = ----
12,5 x 12,5


40 - z
8 . ------
40 - z 2 4 . (40 - z)
x = ------ => h = ---------- = ------------
2 12,5 12,5


4 . (40 - z) ?8
Fh = ró . ------------ . | h dh
12,5 ?0














4 3 . H Y P E R B O L A


Obecná algebraická rovnice druhého stupně v x a y :

F(x,y) = a11x2 + 2a12xy + a22y2 + 2a13x + 2a23y + a33 = 0

Koeficienty aik jsou reálná čísla. Touto rovnicí lze vyjádřit každou kuželo-
sečku (tj. kružnici, elipsu, hyperbolu, parabolu, dvojici přímek a bod).


Diskriminant kuželosečky : | a11 a12 a13 |
| a21 a22 a23 |
| a31 a32 a33 |

Diskriminant kvadratických členů : ? = | a11 a12 |
| a21 a22 |

Je-li ? = 0 , je rovnicí určena parabola, při nenulové hodnotě ? je
rovnicí určena hyperbola nebo elipsa.


Definice hyperboly :
Hyperbolou nazýváme množinu právě těch bodů M v rovině, které mají od
dvou pevných bodů E, F (ohniska) konstantní rozdíl vzdáleností
|ME| - |MF| = 2a, pričemž je 0 < 2a < 2e = |EF|.


y|
|
| M
|
C|
+
|
A | B
--------------•-------+-------+----------------
E| O?S| b F x
| |a
| +
| D|
| e |
|<----->|
|

E,F - ohniska
A,B - hlavní vrcholy
C,D - vedlejší vrcholy (imaginární)
S - střed hyperboly
|EM| - |FM| = 2a - konstantní rozdíl
EM, FM - průvodiče
|SA| = |SB| = a - délka reálné poloosy AS, popř. SB
2a - délka reálné osy AB
|SC| = |SD| = b - délka imagiární poloosy SC, popř. SD
2b - délka imaginární osy CD
|EF| = 2e
e = ?(a2 + b2) - déková výstřednost (excentricita)
as - asymptoty (tečny v nekonečnu)




Rovnice hyperboly v základní poloze S?O , AB ? x , CD ? y


x2 y2
-- - -- = 1
a2 b2



E = [-e ; 0] F = [e ; 0] M = [x ; y]


Středová rovnice hyperboly S = [m ; n] , AB || x , CD || y

Použijeme transformaci souřadnic :

(x-m)2 (y-n)2
------ - ------ = 1
a2 b2

Rovnice hyperboly, která má asymptoty totožné s osami souřadného systému :

a2
xy = --
2

Jestliže se velikost poloosy a rovná velikosti poloosy b, jedná se
o rovnoosou hyperbolu.






4 4 . K O M B I N A C E



Faktoriál čísla n

Faktoriálem čísla n nazýváme funkci F na množině všech nezáporných ce-
lých čísel, definovanou takto :

F(0) = 1

F(n + 1) = (n + 1) F(n) (n ? N0)

Místo F(n) píšeme n!. Platí 0! = 1. Pro n ? 1 je

n! = 1 . 2 . ..... . (n - 1) . n


Kombinace bez opakování

Definice :
Kombinací k-té třídy z n bez opakování prvků nazýváme každou podmnožinu
o k prvcích z množiny o n prvcích. U kombinace bez opakování nepřihlížíme
k uspořádání prvků, protože každý prvek z daných n prvků se v jedné kombina-
ci může vyskytnout nejvýše jednou.

Počet všech kombinací k-té třídy z n prvků bez opakování :

(n ? k)

• n • n(n - 1) ... (n - k + 1) n! Vk(n)
Ck(n) = | | = ------------------------ = ---------- = -----
• k • 1.2 ... k k!(n - k)! P(k)



Příklad :
Kolik možností by bylo při tahu Sportky, kdyby se počet sportů rozšířil
na 90 a počet tažených čísel zmenšil na pět?

n = 90, k = 5

• 90 •
C5(90) = | | = 43 949 268
• 5 •
Kombinace s opakováním

Definice :
Kombinací k-té třídy z n-prvkové množiny M s opakováním nazýváme každou
skupinu o k prvcích vytvořenou z množiny M tak, že v této skupině se každý
prvek může vyskytovat až k-krát.


Počet všech kombinací k-té třídy z n prvků s opakováním :


• n + k - 1 • (n + k - 1)!
Ck(n) = | | = ------------
• k • k!(n -1)!

Příklad :
Kolik kombiunací třetí třídy s opakováním lze vytvořit z pěti číslic
2, 3, 4, 5, 6 ?

• 5 + 3 - 1 • • 7 • 7.6.5
C3(5) = | | = | | = ----- = 35
• 3 • • 3 • 1.2.3



Pascalův trojúhelník k určení kombinačních čísel


n = 0 1

n = 1 1 1

n = 2 1 2 1

n = 3 1 3 3 1

n = 4 1 4 6 4 1

n = 5 1 5 10 10 5 1

n = 6 1 6 15 20 15 6 1
První a poslední číslo v kaýdém řádku schématu je vždy rovno 1. Každé
číslo uvnitř schématu se rovná součtu dvou nejbližších čísel z předchozího
• n •
řádku. Kombinační číslo | | je v tomto schématu v (n + 1)-ním řádku na
• k •
(k + 1)-ním místě.




Užití v binomické větě


Pascalův trpjúhelník lze použít k odvozování algebraických vzorců, typu
(a ± b)n :

(a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2 , odkud (a + b)2 = (a - b)2 + 4ab
(a ± b)3 = a3 ± 3a2b + 3ab2 ± b3
(a ± b)4 = a4 ± 4a3b + 6a2b2 ± 4ab3 + b4
(a ± b)5 = a5 ± 5a4b + 10a3b2 ± 10a2b3 + 5ab4 ± b5


Binomická věta pro kladné celočíselné exponenty n :

• n • • n • • n • • n •
(a + b)n = | | an + | | an-1b + | | an-2b2 + | | an-3b3 +
• 0 • • 1 • • 2 • • 3 •

• n • • n •
+ ... + | | abn-1 + | | bn
• n - 1 • • n •

Pro (a - b)n platí předchozí vzorec s tím rozdílem, že se u jednotlivých
členů střídají znaménka (počínaje kladným).










4 5 . E L I P S A


Obecná algebraická rovnice druhého stupně v x a y :

F(x,y) = a11x2 + 2a12xy + a22y2 + 2a13x + 2a23y + a33 = 0

Koeficienty aik jsou reálná čísla. Touto rovnicí lze vyjádřit každou kuželo-
sečku (tj. kružnici, elipsu, hyperbolu, parabolu, dvojici přímek a bod).

Diskriminant kuželosečky : | a11 a12 a13 |
| a21 a22 a23 |
| a31 a32 a33 |

Diskriminant kvadratických členů : ? = | a11 a12 |
| a21 a22 |

Je-li ? = 0 , je rovnicí určena parabola, při nenulové hodnotě ? je
rovnicí určena hyperbola nebo elipsa.


Definice elipsy :
Elipsou nazýváme množinu právě těch bodů M v rovině, které mají od dvou
pevných bodů E, F (ohniska) konstantní součet vzdáleností |ME| + |MF| = 2a,
pričemž je 2a > |EF| = 2e > 0.


Z podmínky |ME| + |MF| = 2a plyne vláknová (nitková) konstrukce elipsy.

y|
C|
| M[x,y]
|
|
|
|
---•------+----------------+----------------+------------
A| E S?O| e F B x
| |
| a |b
|<--------------------->|
|
D|
|

E,F - ohniska
A,B - hlavní vrholy
C,D - vedlejší vrcholy
S - střed elipsy
|ME| + |MF| = 2a - konstantní součet
ME, MF - průvodiče
|AB| = 2a - délka hlavní osy
a - délka hlavní poloosy
|CD| = 2b - délka vedlejší osy
b - délka vedlejší poloosy (b < a)
|EF| = 2e
e = ?(a2 - b2) - délková výstřednost (excentricita)


Rovnice elipsy v základní poloze S?O , AB ? x , CD ? y

x2 y2
-- + -- = 1
a2 b2

E = [-e ; 0] F = [e ; 0] M = [x ; y]


Středová rovnice elipsy S = [m ; n] , AB || x , CD || y

Použijeme transformaci souřadnic :

(x-m)2 (y-n)2
------ + ------ = 1
a2 b2

Jestliže se velikost poloosy a rovná velikosti poloosy b, dostaneme
kružnici (kružnice je zvláštním případem elipsy).



Důkaz :
x2 y2 x2 + y2
-- + -- = 1 => ------- = 1 / .a2
a2 a2 a2



x2 + y2 = a2 - středová rovnice kružnice
------------------

4 6 . R O V N I C E S N E Z N Á M O U V O D M O C N Ě N C I


Nezáporné číslo b, pro něž platí bn = a , se nazývá n-tá odmocnina
z čísla a, a značí se n?a (místo 2?a píšeme ?a). Číslo a se nazývá základ
odmocniny (odmocněnec) a číslo n se nazývá odmocnitel. ( a,b ? R0+, n ? N )



Pro odmocniny platí ( a,b ? R0+, m,n ? N, k ? Z ) :
Existuje právě jedno číslo b, pro něž platí bn = a. Dále


n?0 = 0 n?1 = 1 1?a = a

n?(ab) = n?a . n?b

• a • n?a
n?| - | = --- (b <> 0)
• b • n?b

(n?a)k = n?ak = ak/m (a <> 0)

n?a . m?a = nm?an+m

?a + ?b = ?[a + b + 2?(ab)]

?a - ?b = ?[a + b - 2?(ab)] (a ? b)

• a + ?(a2 - b) • • a - ?(a2 - b) •
?(a ± ?b) = ?| ------------- | ± ?| ------------- | (a2 ? b)
• 2 • • 2 •


Protože umocnění není ekvivalentní úprava rovnive, je u těchto rovnic
zkouška správnosti součástí řešení.





4 7 . V Z Á J E M N Á P O L O H A P Ř Í M K Y A K U Ž E L O S E Č K Y





4 8 . P R A V D Ě P O D O B N O S T


Náhodný jev A je takový jev, který může nastat za určitých podmínek, ale
jeho výskyt není jistý.


Pravděpodobnost, se kterou nastane jev A : p(A)

1) Pravděpodobnost nemožného jevu : p(A) = 0
2) Pravděpodobnost jistého jevu : p(A) = 1


Definice :
Každému jevu A, tj. každému možnému výsledku pokusu, je přiřazeno číslo
p = p(A), zvané pravděpodobnost jevu A, pro něž platí

0 ? p(A) ? 1

m
Pravděpodobnost : p(A) = ---
n

m - počet případů, v nichž jev A natane (počet příznivých jevů A)
n - počet všech možných jevů





4 9 . D E R I V A C E F U N K C E


Derivace funkce

Definice :
Derivace funkce je limita podílu přírůstku funkce ku přírůstku proměnné
_x, když _x->0. Geometricky představuje derivace funkce y = f(x) směrnici
tečny t grafu funkce y = f(x) v daném bodu x.


f( x + _x ) - f(x)
y' = lim ------------------
_x->0 _x


y|
| y = f(x)
|
|
| B s
|
| | t
| A ? | _y
| •--------------•
| | |
| |f(x) |f(x+_x)
| | |
| | |
----+----------•--------------•------------------
0| x _x x+_x x _y
| ks = tg ? = --
_x
_y = f(x + _x) - f(x) _x . . . přírůstek proměnné x
_y . . . přírůstek funkce
ks . . . směrnice sečny AB



Základní vzorce

1) y = c .............. y' = 0

2) y = xn ............. y' = n . xn-1
3) y = c . f(x) ....... y' = c . f'(x)

4) y = f(x) ± g(x) .... y' = f'(x) ± g'(x)

5) y = g(x) . g(x) .... y' = f'(x) . g(x) + f(x) . g'(x)

1 - g'(x)
6) y = ---- ........... y' = -------
g(x) [g(x)]2

f(x) f'(x) . g(x) - f(x) . g'(x)
7) y = ---- ........... y' = ---------------------------
g(x) [g(x)]2


8) y = ax ............. y' = ax . ln a

y = ex ............. y' = ex

y = e-x ............ y' = - ex

9) y = sin x .......... y' = cos x

y = cos x .......... y' = - sin x

1
y = tg x ........... y' = -----
cos2x

1
y = cotg x ......... y' = - -----
sin2x

1
10) y = ln x .......... y' = -
x

1
11) y = loga x ........ y' = - . ln a
x

1 1
y = log x ......... y' = - . ln 10 = - . log e
x x



Derivace funkce složené

Složená funkce - y = f[g(x)]

Derivace funkce složené je rovna součinu derivace funkce y podle pro-
měnné z a derivace funkce z podle proměnné x (součin derivace vnější funkce

a derivace vnitřní funkce).

y = f[g(x)]

g(x) = z : y = f(z)
--•- --•-
| •-- vnější funkce
•--------------------- vnitřní funkce



Geometrický význam derivace

Pomocí derivace lze analyzovat danou funkci (resp. její graf). Lze určit
interval, v němž je funkce vypuklá (konvexní), vydutá (konkávní), rostoucí,
klesající, lze určit minimum a maximum (tzv. extrémy) a inflexní bod (pokud
existují).

Má-li funkce y = f(x) v bodě x0 kladnou derivaci, je v bodě x0 rostoucí.
Má-li funkce y = f(x) v bodě x0 zápornou derivaci, je v bodě x0 klesající.
Má-li funkce y = f(x) v bodě x0 nulovou hodnotu, má v bodě x0 extrém.



Vypuklost (konvexnost)

y = f(x)
Pro hodnoty, v nichž je graf vypuklý :
| 1) ? přechází z hodnot tupého úhlu do hodnot
| ostrého úhlu
| 2) tg ? je funkce rostoucí :
| tg ? = k = f'(x) ..... f''(x) > 0
----+-----------------------
|
V bodech, v nichž je graf funkce vypuklý má druhá derivace hodnotu kladnou.
V bodu, v němž má graf vypuklé funkce minimum má druhá derivace hodnotu
kladnou.
Vydutost (konkávnost)
y = f(x)
Pro hodnoty, v nichž je graf vydutý :
| 1) ? se zmenšuje k nule a dále do záporného
| úhlu
| 2) tg ? je funkce klesající :
| tg ? = k = f'(x) ..... f''(x) < 0
----+-----------------------
|

V bodech, v nichž je graf funkce vydutý má druhá derivace hodnotu zápornou.
V bodu, v němž má graf vyduté funkce minimum má druhá derivace hodnotu zá-
pornou.











Inflexní bod

y = f(x)

|
|
|
|
|
|
|
|
|
--------------+--------------------------------------------
|
|

V bodu I (inflexní bod) přechází graf z jedné strany tečny ti (inflexní teč-
na) na druhou stranu tečny ti. V bodu inflexním má druhá derivace nulovou
hodnotu ( f''(x) = 0 ).


5 0 . T R O J Ú H E L N Í K



5 1 . V Z Á J E M N Á P O L O H A P Ř Í M K Y A R O V I N Y



Parametrické rovnice přímky
->
Přímka je dána bodem A = [x1;y1;z1] a směrovým vektorem s (s1;s2;s3):


x = x1 + ts1
y = y1 + ts2 t - parametr
z = z1 + ts3

Obecná rovnice přímky v prostoru neexistuje (rovnicí Ax + By + Cz + d = 0 je
určena rovina).

Obecná rovnice roviny - Ax + By + Cz + d = 0
- normálový vektor - n = (A;B;C)


Odchylka dvou různoběžných vektorů

Ze vzorců pro skalární součin vektorů odvodíme vztah

u1v1 + u2v2
cov ? = ----------- ,
|u|.|v|

kde ? je úhel, který vektory svírají.




Vzájemnou polohu přímky a roviny zjistíme z řešení soustavy jejich
rovnic. Mohou nastat tyto tři případy :

1) Nekonečně mnoho řešení - přímka leží v rovině
2) Jedno řešení - přímka protíná rovinu v průsečíku P, jehož souřadnice
jsou řešením soustavy.
3) Soustava nemá řešení - přímka je rovnoběžná s rovinou; její vzdále-
nost od roviny se vypočítá podle vzorce

|ax0 + by0 + cz0 + d|
v = ---------------------
?(a2 + b2 + c2)


Odchylka přímky od roviny

Odchylka ? (0o ? ? ? 90o) přímky p se směrovým vektorem u = (u1; u2; u3) a
roviny ? s normálovým vektorem v = (v1; v2; v3) se vypočítá podle vzorce

|u1v1 + u2v2 + u3v3|
sin ? = ---------------------------------------
?(u12 + u22 + u32) . ?(v12 + v22 + v32)

5 2 . V Z Á J E M N Á P O L O H A D V O U P Ř Í M E K



Přímka je průsečnicí dvou rovin. Značí se malými latinskými písmeny (a,
b, p, g, ...). Jsou-li A, B dva různé body přímky, pak se tato přímka značí
" přímka AB ".


Parametrické rovnice přímky
->
Přímka je dána bodem A = [x1;y1] a směrovým vektorem s (s1;s2):
->
p = ( A ; s )

Bod X má souřadnice [x;y]. Rovnice přímky je vztah, který platí pro souřad-
nice každého bodu X přímky p :

x = x1 + ts1 t - parametr
y = y1 + ts2

Parametrické rovnice přímky v prostoru

x = x1 + ts1
y = y1 + ts2
z = z1 + ts3


Obecná rovnice přímky

A x + B y + C = 0 - Přímka je dána lineární rovnicí o dvou
proměnných


Obecná rovnice přímky v prostoru neexistuje (rovnicí Ax + By + Cz + d = 0 je
určena rovina).



Dvě přímky vůči sobě mohou být - mimoběžné
- různoběžné
- rovnoběžné
- rovnoběžné splývající (totožné)

Vzálemnou polohu dvou přímek určíme z výsledku řešení soustavy jejich
obecných rovnic (pokud jsou zadány jinak, převedeme jejich rovice na obecný
tvar). Mohou nastat tři případy:

1. nekonečně mnoho řešení - přímnky jsou rovnoběžné splývající (existuje ne-
konečně mnoho bodů, které leží na obou přímkách)
2. jedno řešení - přímky jsou různoběžné (existuje právě jeden bod, který
leží na obou přímkách - průsečík P. Jeho souřadnice jsou
řešením soustavy rovnic přímek)
3. soustava nemá řešení - přímky jsou rovnoběžné (v rovině) nebo mimoběžné
(v prostoru)



Úhel dvou přímek

Úhel dvou přímek v rovině je ostrý úhel, který přímky svírají. Určíme
jej jako úhel normálových nebo směrových vektorů. Jestliže r je směrový vek-
tor přímky k a s je směrový vektor přímky l a přímky k a l jsou různoběžky,
pak úhel ?, který svírají, vypočteme ze vzorce

r1s1 + r2s2
cos ? = -----------
|r|.|s|




Vzdálenost rovnoběžek

Vzdálenost v dvou rovnoběžných přímek p, q je rovna vzdálenosti
libovolného bodu A jedné přímky od druhé přímky, a vypočítá se podle vzorce:

|ax0 + by0 + c|
v = --------------- '
?(a2 + b2)

kde M = [x0,y0] ? p , q : ax + by + c = 0




5 3 . O B J E M A P O V R C H T Ě L E S


5 4 . L O G A R I T M I C K Á R O V N I C E
Definice logaritmu :
Logaritmus kladného čísla x je mocnitel y, na který musíme umocnit zvo-
lený základ a, abychom dostali dané kladné číslo x.

Logaritmickou rovnicí nazýváme takovou rovnici, kde se proměnná x vys-

kytuje v logaritmickém výrazu (je logaritmována). Obecně lze logaritmické
rovnice řešit jen graficky nebo přibližnými numerickými metodami. Jen v něk-
terých jednoduchých zvláštních případech lze tyto rovnice převést vhodnou
substitucí na algebraické rovnice.

Základní logaritmická rovnice :

logax = b (a>0 , a<>1)

Platí-li b = logac, pak

logax = logac -" x = c,

jinak je x = ab.


Vyskytuje-li se proměnná x nebo mnohočlen P jen jako argument logarit-
mu, lze logaritmickou rovnici převést na algebraickou v těchto případech :

a) Rovnice obsahuje kořeny téhož argumentu. Takové rovnice se řeší tak, že
logaritmus tohoto argumentu považujeme za novou neznámou y, najdeme koře-
ny nové rovnice a umocněním základu logaritmu těmito kopřeny dostaneme
kořeny dané rovnice.

b) Logaritmická rovnice tvaru

c1 loga P1(x) + c2 loga P2(x) + ... + cn loga Pn(x) = 0,

kde P1, P2, ..., Pn jsou mnohočleny v proměnné x, se na algebraickou rovnici
převede odlogaritmováním. V tomto případě je třeba se vždy přesvědčit, zda
pro nalezené kořeny má původní rovnice smysl a zda jí tyto kořeny vyhovují.



Logariotmická funkce

Obecný tvar funkce : y = logax (x > 0 , a > 0 , a <> 1)

Graf logaritmické funkce : (vždy prochází bodem [1;0], protože loga 1 = 0)
y
|
4•
|
3|
|
2•
|
1•
|
--+----•----•----•----•----•----•----•----•----•-----
0| 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x
-1•
|
-2•
|
-3•
|
-4•
|




Funkce logaritmická a exponenciální jsou vzájemně inverzní.



5 5 . G E O M E T R I C K Á P O S L O U P N O S T - U Ž I T Í


5 6 . V Z D Á L E N N O S T B O D U O D P Ř Í M K Y , O D R O V I N Y



Vzdálenost bodu od přímky

Je dána přímka p : ax + by + c = 0 a bod M = [x0;y0], který na ní neleží.




5 7 . O B J E M A P O V R C H K O U L E


5 8 . M O C N I N Y S R A C I O N Á L N Í M M O C N I T E T L E M





5 9 . S H O D N Á Z O B R A Z E N Í


Základní pojmy

Uspořádaná dvojice - taková dvojice prvků, kde záleží na pořadí prvků

Kartézský součin množin A,B - množina všech uspořádaných dvojic [x,y], kde
x je prvkem množiny A, y je prvkem množiny B
Zapisujeme : A x B


Zobrazení :
Zobrazní z množiny A do množiny B je předpis, který každému prvku x
z množiny A přiřazuje právě jeden (ne více !) prvek y z množiny B.


Zobrazení prosté - takové zobrazení, kde každý obraz má nejvýše jeden vzor
Vzájemně jednoznačné zobrazení - prosté zobraení množiny A na množinu B.
(každému vzoru jeden odraz, každému obra-
zu jeden vzor). A i B mají stejný počet
prvků.



Shodné zobrazení


Shodné zobrazení (shodnost) je takové zobrazení, které každým dvěma
prvkům A, B přiřazuje obrazy A',B' tak, že platí |AB| = |A'B'|.

Samodružné body - takové body, které jsou daným zobrazením přiřazeny
samy sobě (A ? A').



Shodná zobrazení v rovině :
- osová souměrnost
- středová souměrnost
- otáčení
- posunutí
- totožnost



1. Osová souměrnost

Je dána osou souměrnost ?

|
| Předpis :
| •----------------•
| | |A'P| = |AP| |
----------------------+---------------------- | A'A • ? |
| •----------------•
|
|
|

Samodružné body : každý bod osy souměrnosti
Samodružné přímky : osa souměrnosti a každá přímka k ní kolmá


Sobě odpovídající si přímky v osové souměrnosti (vzor a obraz) se protínají
na ose souměrnosti.





2. Středová souměrnost

Je dána středem souměrnosti S

Předpis :
•------------------------•
| S,A,A' - leží v přímce |
| |A'S| = |AS| |
•------------------------•


Samodružné body : pouze střed souměrnoti
Samodružné přímky : každá přímka procházející středem souměrnosti





3. Otáčení (rotace)

Je dáno středem otáčení S a úhlem otáčení ?


Předpis :
•--------------•
| SA' = SA |
-------------------- | ASA' = ? |
•--------------•



4. Posunutí (translace)
->
Je dáno vektorem v


Předpis :
•-----------------•
| |AA'| = | v | |
| AA' || v |
•-----------------•

Samodružné body : je-li vektor posunutí nenulový, neexistují; je-li vektor
posunutí nulový, je samodružný každý bod
Samodružné přímky : je-li vektor posunutí nenulový, je samodružná každá
přímka s ním rovnoběžná; je-li vektor posunutí nulový,
je samodružná každá přímka



5. Totožnost (identita)

Pro obraz X' každého bodu X platí : X' ? X.

Samodružné body : každý bod je samodružný
Samodružné přímky : každá přímka je samodružná





6 0 . V A R I A C E , P E R M U T A C E



VARIACE

Variace k-té třídy n prvků jsou uspořádané k-tice tvořené z množiny o n prv-
cích, v nichž se každý prvek vyskytuje pouze jednou.

Vk(n) - variace k-té třídy n prvků

Počet variací k-té třídy n prvků :

V1(n) = n
V2(n) = n . (n - 1)
V3(n) = n . (n - 1) . (n - 2)

V4(n) = n . (n - 1) . (n - 2) . (n - 3)
n! • n •
Vk(n) = n . (n - 1) . (n - 2) . ........ . (n - k + 1) = -------- = | |k!
(n - k)! • k •


PERMUTACE

Permutace jsou variace n-té třídy n prvků :

Vn(n) = P(n) = n . (n - 1) . (n - 2) . ..... . 3 . 2 . 1 = n!
•-----------------------------------------•
n činitelů

Permutace se liší pouze přestavěním prvků.


Příklad :

Kolik různých trikolor lze vytvořit ze tří barev ?

t = V3(3) = P(3) = 3 . 2 . 1 = 3! = 6




Faktoriál čísla n

Faktoriálem čísla n nazýváme funkci F na množině všech nezáporných
celých čísel, definovanou takto :

F(0) = 1

F(n + 1) = (n + 1) F(n) (n ? N0)

Místo F(n) píšeme n!. Platí 0! = 1. Pro n ? 1 je

n! = 1 . 2 . ..... . (n - 1) . n


VARIACE S OPAKOVÁNÍM

Variace k-té třídy n prvků s opakováním jsou uspořádané k-tice tvořené
z množiny o n prvcích, v nichž se každý prvek může vyskytovat až k-krát.
V'k(n) - variace k-té třídy n prvků s opakováním

Počet variací k-té třídy n prvků s opakováním :
V'k(n) = nk

Příklad :
Kolik možností je při vyplňování sázenky o 12 utkáních ?

n = 3 (vítězství, prohra, nerozhodně)

k = 12

V'12(3) = 312 = 531441